Revista Digital Universitaria
ISSN: 1607 - 6079 Publicación mensual
 
1 de junio de 2010 Vol.11, No.6
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Física estadística de los sistemas sociales*
Gerardo Íñiguez
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Estructura de las redes
Función de las redes   
Coevolución social
Conclusiones
Bibliografía
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Introducción


La vida es compleja. Desde el grano de arena más pequeño hasta las galaxias que forman nuestro Universo, pasando por la bioquímica celular, las interacciones humanas en una sociedad y los ecosistemas terrestres, somos testigos de un sin fin de fenómenos, cuya estética puede maravillarnos y aterrarnos por igual, pues su bello comportamiento externo generalmente oculta una multitud de procesos, que pueden interactuar o no de acuerdo a su escala espacio-temporal y el medio ambiente que los rodea, lo cual usualmente resumimos como complejidad. Durante siglos, los físicos han respondido a este rompecabezas de la Naturaleza tomando las piezas más simples que puede haber: (a) los sistemas de unas pocas partículas, que pueden ser descritos por ecuaciones matemáticas deterministas y solubles analíticamente,29,41y (b) los sistemas de muchísimas partículas donde el estudio de su comportamiento global se simplifica con un análisis estadístico.35,55 En otras palabras, una escala fija pequeña (como la del grano de arena) o grande (como la de una galaxia) nos permite despreciar interacciones o efectos del medio ambiente para simplificar un tratamiento matemático del sistema, pero los fenómenos confinados en las múltiples escalas intermedias (como los tejidos celulares, las personas y los ecosistemas) siguen condenados a ser llamados complejos.

Las últimas décadas han presenciado el rápido desarrollo de varias herramientas teóricas para describir tales sistemas complejos basadas en el concepto de red.2,10,21,46Bajo este enfoque, un sistema complejo puede ser modelado como un conjunto de nodos que representan las partes o elementos del sistema, y un conjunto de enlaces que representan las interacciones o relaciones entre éstos. Más aún, los nodos y enlaces pueden estar asociados a variables de estado que miden las características o propiedades relevantes de las partes e interacciones del sistema.

Cabe mencionar que la extrema generalidad del concepto de red tiene ventajas y desventajas. Por un lado nos permite usar el mismo análisis matemático para estudiar fenómenos, que aparentemente no tienen nada que ver, como las reacciones químicas de catálisis y las interacciones evolutivas entre especies.34 Por el otro, la definición precisa de nodos, enlaces y variables de estado depende del grado de descripción que buscamos y la información que tenemos acerca del fenómeno, por lo que un mismo sistema complejo puede estar asociado a muchas redes con distintas propiedades.

Siguiendo la tradición ancestral de los físicos, podemos considerar primero casos extremos en que el estudio de las redes complejas se simplifique de cierta manera. Si la escala de tiempo en que las variables de estado cambian es lo suficientemente lenta como para que las podamos considerar constantes, sólo es relevante la estructura de la red, es decir, la forma específica en que los nodos y enlaces están distribuidos, y cambian en el tiempo. Esto nos lleva, directamente, al establecimiento y análisis estadístico de redes arquetípicas como las redes aleatorias,14,25 las redes de mundo pequeño 64,66 y las redes libres de escala,3,5de las cuales hablaremos un poco en la sección II. En el caso extremo opuesto los nodos y enlaces no cambian y la estructura se puede considerar fija, por lo que únicamente nos interesa la función de la red, es decir, la evolución temporal de las variables de estado. Como explicamos brevemente en la sección III, existe una gran variedad de dinámicas sobre redes que han sido estudiadas a lo largo de los años (como la morfogénesis en pieles de animales,7,9 la propagación epidémica de enfermedades11,12y la sincronización en sistemas biológicos,1,59 cuyas propiedades pueden cambiar drásticamente al modificar el tipo de red sobre la cual se desarrollan.

Como usualmente sucede, los casos intermedios son a la vez más difíciles e interesantes. Cuando la estructura y la función de una red cambian en la misma escala de tiempo es imposible ya despreciar los cambios en una u otra, por lo que tenemos que considerar sus evoluciones temporales de forma simultánea. Esto implica que la aparición o desaparición de nodos y enlaces afectaría los valores de las variables de estado, y a la vez tales variables modificarían el número de nodos y enlaces en la red, un proceso conocido como coevolución.30,45La coevolución de los sistemas complejos es especialmente clara al analizar la formación de opinión en un sistema social: la forma en que cada individuo modifica su opinión respecto a un tema dado depende de su personalidad y las personas con las cuales discute el tema, y a la vez tal red de amistades o conocidos cambia debido a la propia dinámica de opiniones.28,36,37,68 En la sección IV resumimos algunos resultados de nuestra investigación en la coevolución de sistemas sociales.31-33

Antes de ir a los detalles, podemos dar una serie de referencias y enlaces para aquellos interesados en la investigación en sistemas complejos. Existen ya algunos libros que abordan el tema a nivel divulgación de la ciencia,4,65 otros que requieren cierto conocimiento de física y matemáticas,34 así como recopilaciones de artículos importantes con introducciones editoriales.15,22,64 La mayoría de los artículos citados aquí pueden ser accesados de forma libre en arXiv.org o con suscripción académica a través de Google Scholar. El sitio videolectures.net contiene una infinidad de videos de conferencias de investigadores sobresalientes en el campo, como A.-L. Barabási, S. Fortunato, S. Havlin, J. Kertész, M. Newman y A. Vespignani. Finalmente, en el apéndice (A) se encuentran los enlaces a varios grupos de investigación en sistemas complejos alrededor del mundo.

29 Goldstein H., C. Poole, and J. Safko. Classical Mechanics. Addison-Wesley, Reading, 1980.
41 Messiah A. . Quantum Mechanics. North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1961.
35 Kadanoff L. P., Statistical Physics: Statics, Dynamics and Renormalization. World Scientific, 2000.
55 Pathria R. K., Statistical Mechanics. Butterworth-Heinemann, Oxford, 1996.
2 Albert R. and. Barabási A.-L. Statistical mechanics of complex networks. Reviews of Modern Physics 74(1):47-97, 2002.
10 Boccaletti S., Latora V., Moreno Y., Chavez M., and Hwang D.-U. Complex networks: Structure and dynamics. Physics Reports, 424(4-5):175-308, 2006
21Dorogovtsev S.N. and Mendes J. F. F., Evolution of networks. Advances In Physics, 51(4):1079-1187, 2002.
46 Newman M. E. J., The Structure and Function of Complex Networks. SIAM Review, 45(2):167-256, 2003.
34 Jain S. and Krishna S., Autocatalytic Sets and the Growth of Complexity in an Evolutionary Model. Physical Review Letters, 81(25):5684-5687, 1998.
14 Bollobás B.. Random Graphs. Academic Press, London, 1985.
25Erdős P. and Rényi A., On random graphs. Publicationes Mathematicae (Debrecen), 6:290-297, 1959.
64Watts D. J., Small Worlds: The Dynamics of Networks between Order and Randomness. Princeton University Press, Princeton, 1999.
66Watts D. J. and Strogatz S. H., Collective dynamics of `small-world' networks. Nature, 393(6684):440-442, 1998.
3Albert R., Jeong H., and Barabsi A.-L.. Error and attack tolerance of complex networks. Nature, 406(6794):378-382, 2000.
5Barabsi, A.-L. and Albert R.. Emergence of Scaling in Random Networks. Science, 286(5439):509-512, 1999.
7Barrio R. A.. Turing Systems: A General Model for Complex Patterns in Nature. In I. Licata and A. Sakaji, editors, Physics of Emergence and Organization, chapter 11, pages 267-296. World Scientific, 2008.
9Barrio R. A. and Varea C.. Non-linear systems. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 372(2):210-223, 2006.
11Bogu M. and Pastor -Satorras R.. Epidemic spreading in correlated complex networks. Physical Review E, 66(4):047104, 2002.
12Boguñá M., Pastor-Satorras R., and Vespignani A.. Epidemic Spreading in Complex Networks with Degree Correlations, volume 625 of Lecture Notes in Physics, chapter 8, pages 127-147. Springer-Verlag, Berlin, 2003.
1 Acebrón J. A., Bonilla L. L., Pérez Vicente C. J., Ritort  F., and Spigler R.. The Kuramoto model: A simple paradigm for synchronization phenomena. Reviews of Modern Physics, 77(1):137-185, 2005.
59Strogatz S. H.,  From Kuramoto to Crawford: exploring the onset of synchronization in populations of coupled oscillators. Physica D: Nonlinear Phenomena, 143(1-4):1-20, 2000.
30 Holme P. and Newman M. E. J., Nonequilibrium phase transition in the coevolution of networks and opinions. Physical Review E, 74(5):056108, 2006.
45 Nardini C., Kozma B., and Barrat A., Who's Talking First? Consensus or Lack Thereof in Coevolving Opinion Formation Models. Physical Review Letters, 100:158701, 2008.
28 Gil S. and Zanette D. H., Coevolution of agents and networks: Opinion spreading and community disconnection. Physics Letters A, 356(2):89-94, 2006.
36 Kozma B. and Barrat A., Consensus formation on adaptive networks. Physical Review E, 77(1):016102, 2008.
37 Kozma B.and Barrat A., Consensus formation on coevolving networks: groups' formation and structure. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 41:224020, 2008.
68 Zanette D. H. and Gil S., Opinion spreading and agent segregation on evolving networks. Physica D: Nonlinear Phenomena, 224(1-2):156-165, 2006.
31Íñiguez G., Dinámica de redes y coevolución en sistemas complejos. Instituto de Física, Universidad Nacional Autónoma de México, 2009. Tesis de Maestría.
32Íñiguez G. and Barrio R. A., Coevolución en redes sociales. In Educación Química: 8a Convención Nacional y 1a Internacional de Profesores de Ciencias Naturales, volume XX, pages 272-279, 2009
33Íñiguez G.,  Kertész J., Kaski K. K., and Barrio R. A., Opinion and community formation in coevolving networks. Physical Review E, 80(6):066119, 200
4Barabási, A.-L.. Linked: How everything is connected to everything else and what it means for business, science, and everyday life. Penguin Group, New York, 2002.
65Watts D. J., Six degrees: The science of a connected age. Norton and Company, London, 2003.
15 Caldarelli G., Scale-Free Networks: Complex Webs in Nature and Technology. Oxford University Press, Oxford, 2007.
22 Dorogovtsev S.N. and. Mendes J. F. F., Evolution of Networks: from biological nets to the internet and www. Oxford University Press, Oxford, 2002.
49 Newman M. E. J., Barabási A.-L., and Watts D. J., The Structure and Dynamics of Networks. Princeton University Press, Princeton, 2006.

* Agradecimiento: Este trabajo ha sido financiado por CONACYT, proyecto No. 79641. Agradezco la colaboración del Prof. R. A. Barrio en la eboración de este trabajo, que constituye gran parte de mi tesis de Maestría en Ciencias.

 

 
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