Revista Digital Universitaria
ISSN: 1607 - 6079 Publicación mensual
 
1 de junio de 2010 Vol.11, No.6
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Aplicaciones del modelo BVAM a sistemas complejos*
Rafael A. Barrio
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Modelo BVAM
Aplicación a la pigmentación...   
Patrones en dominios curvos
Biestabilidad y ondas viajeras
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Bibliografía
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Introducción


El modelo BVAM1 surgió como un intento de unificar los modelos que se usaban hace doce años para tratar la aparición de patrones en diversos sistemas complejos de morfogénesis, particularmente en biología. Uno de los primeros que relacionó los patrones espaciales en sistemas biológicos con un fenómeno de auto organización, fue el naturalista D’Arcy Thompsom.2 Las conexiones que él hizo entre la biología y otros campos del conocimiento científico en su importante libro de 1917, inspiraron la realización de muchos trabajos posteriores, tanto experimentales como teóricos, en los llamados “sistemas complejos”.

La formación de patrones espaciales, o de una “forma” en general, resulta de un rompimiento de simetría. Es decir, a partir de un sistema simétrico y uniforme se generan regiones distinguibles del espacio, lo cual aparentemente viola los principios de la termodinámica. En los sistemas complejos ésto ocurre y podemos deducir que los fenómenos de auto-organización involucrados en la adquisición de la forma deben de estar regidos por leyes de evolución, o dinámicas, no lineales. Alan Turing propuso exactamente esto en un sistema de dos substancias químicas debido a que éstas se difunden y reaccionan entre sí en un medio determinado. Turing escribió en el resumen de su artículo original The chemical basis of morphogenesis: "The purpose of this paper is to discuss a possible mechanism by which the genes of a zygote may determine the anatomic structure of the resultant organism. The theory does not make any new hypothesis, but merely suggests that certain well known physical laws suffice for explaining many facts".3

Esta frase contiene todos los conceptos básicos necesarios para el desarrollo de una teoría sobre la aparición de las formas. En ese mismo artículo Turing acuñó la palabra morfogénesis para el conjunto de procesos que llevan a un sistema a tomar una forma precisa, y en consecuencia las sustancias responsables de esto se conocen como morfógenos. Los patrones aparecen cuando un estado estacionario estable y uniforme en ausencia de difusión, se vuelve inestable bajo la presencia de ésta.

En este caso, el mecanismo que rompe la simetría del sistema es la difusión y se conoce como “inestabilidad inducida por difusión” o “inestabilidad de Turing”. Esto es sorprendente, ya que usualmente cuando una sustancia se difunde, los gradientes de concentración de la misma disminuyen en el tiempo, lo que tiene como consecuencia la desaparición o disminución de cualquier tipo de estructura espacial. Sin embargo, en la inestabilidad de Turing, es precisamente la difusión la causante de que el estado estacionario uniforme se vuelva inestable y favorezca la aparición de un patrón espacial.

Los modelos de Turing pertenecen a una familia de sistemas de ecuaciones diferenciales parciales no lineales que conocen como sistemas de reacción-difusión. Estos sistemas pueden presentar una inestabilidad de Turing si, y sólo si, se dan ciertas condiciones restrictivas. Los sistemas de reacción- difusión presentan una amplia variedad de comportamientos, usualmente pensados para modelar fenómenos específicos. Sin embargo todos presentan características universales que pueden ser fácilmente mostradas por un sistema general de Turing: el modelo BVAM que a continuación se explica.

1. R.A. Barrio, C. Varea, J.L. Aragón, and P.K. Maini, A Two-dimensional Numerical Study of Spatial Pattern Formation in Interacting Turing Systems, Bull. Math. Biol., 61, 483 (1999).
2. D' Arcy W. Thompson, On Growth and Form (abridged edition), Cambridge Univ.Press, UK (1961).
3. A. M. Turing, A Chemical basis of Morphogenesis, Phil. Trans. R. Soc. Lond. B237, 37 (1952).

*Agradecimientos: Este trabajo fue financiado en parte por CONACYT a través del proyecto No. 79641. Quiero agradecer a mis numerosos colaboradores a través de los años: D. Hernández, C. Varea, J.L. Aragón, K. Kaski, Teemu Leppänen, Mikko Kartunen, Klaus Kÿtta, Faustino Sánchez, R. Baker y P.K. Maini.


 
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