Revista Digital Universitaria
ISSN: 1607 - 6079 Publicación mensual
 
1 de junio de 2010 Vol.11, No.6
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Difusión anómala en sistemas complejos*
Carmen Varea y Damián Hernández
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Difusión y movimiento browniano
Difusión Anómala   
Reacción-Difusión Anómala
Bibliografía
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Introducción


Algunas de las preguntas más intrigantes de la ciencia son: ¿Cómo nacen las formas en la naturaleza?, ¿cómo es que un conjunto de entidades, ya sean partículas, moléculas, etc. que interactúan entre sí, pueden organizarse formando estructuras cuya extensión excede por mucho las dimensiones de de dichos seres y de sus interacciones? ¿Cómo es que aún cuando las condiciones a las que se encuentran sujetos estos conjuntos, no exhiben ninguna estructura espacial ni temporal o ninguna influencia externa que escoja una dirección o introduzca una escala espacial particular, estos sistemas logran tener comportamientos periódicos, cuasiperiódicos e incluso caóticos en el espacio y en el tiempo? ¿Cómo logran desarrollar estructuras espaciales con escalas bien definidas? En la figura 1 damos ejemplos de estas estructuras espaciales.


a)


b)

Figura 1: (a) Patrón de un cultivo de bacterias, análoga a la reacción de Belousov­Zhavotinskii. (b) Patrón en la piel de un pez.

Estos rompimientos de simetría son espontáneos, en el sentido que la dinámica del sistema no cambia su forma explícita y son solamente consecuencia de la naturaleza no­lineal de su evolución. Lo único que cambia en la descripción de los distintos estados en los que éste se encuentra es, generalmente, el valor de uno o varios parámetros que miden que tan lejos se está del equilibrio termodinámico.

La mayoría de las respuestas a estas preguntas son desconocidas, aunque se han encontrado respuestas parciales, y en algunos casos respuestas sólidas a algunas de ellas, sobre todo en sistemas físicos que se encuentran cerca del equilibrio termodinámico, ya que en este caso, dichos sistemas pueden ser descritos por un número relativamente pequeño de variables macroscópicas independientes, cuya evolución está determinada por la minimización de cantidades tales como la producción de entropía1,2o la energía libre, lo cual tiene como consecuencia que el estado final de la evolución temporal de estos sistemas sea generalmente único y estacionario.

El hecho que en dichos sistemas aparezcan las clases de fenómenos antes mencionados, sugiere fuertemente que la dinámica bajo la cual estos evolucionan es no lineal, reconocer este hecho ha tenido como consecuencia un gran avance de la física y las matemáticas no lineales de las últimas décadas. Las consecuencias más importantes de la no linearidad en la evolución de estos sistemas, aparecen cuando éstos se encuentran fuera del equilibrio termodinámico. En general, el comportamiento de un sistema físico es más complicado tanto espacial como temporalmente entre más lejos del equilibrio termodinámico se encuentre. Por lo tanto, si asociamos al equilibrio termodinámico, estados que son homogéneos tanto en el espacio como en el tiempo, dichos sistemas tienen que experimentar varios rompimientos de las simetrías que los caracterizan para llegar a los comportamientos complicados de los sistemas fuera de equilibrio (por ejemplo, éstos dejan de ser invariantes ante cualquier traslación espacial o temporal).

Cuando los sistemas están lejos del equilibrio, su evolución temporal puede no estar determinada por la minimización de la energía libre, ya que es común que esta cantidad no exista, y aún existiendo sus valores extremales no aseguran la unicidad del estado final del sistema.

Así el estado final del sistema está determinado por las condiciones iniciales y por su interacción con el mundo exterior. Aunque compuestos por muchas unidades independientes que interactúan entre sí, estos sistemas están descritos por pocas variables macroscópicas, tales como el volumen, la temperatura, presión, número de partículas etcétera, lo que permite estudiarlos mediante ecuaciones de evolución que dependen de pocas variables.

Como ejemplo podemos mencionar los sistemas químicos en los que la difusión juega un papel importante. Estos sistemas se conocen como sistemas de reacción difusión, y fue hasta 1952 cuando el matemático ingles Alan Turing,3 se dio cuenta que podían servir como un modelo para explicar la aparición de las estructuras espaciales características de un embrión en desarrollo. Desde la publicación de este importante artículo, los sistemas de reacción difusión se han utilizado para modelar la formación de patrones y en general el desarrollo de estructuras espacio temporales coherentes en química,4,5 biología,6,7 física,8 ecología7,9 etcétera.

En este artículo exploramos, de manera teórica, el comportamiento de los sistemas de reacción difusión cuando la difusión es anómala. Es decir, cuando el desplazamiento cuadrático medio no crece linealmente en el tiempo. La razón de esto es que la manera tradicional de modelar la difusión en estos sistemas hace muchas suposiciones a priori acerca del medio donde se lleva acabo la difusión, en particular, la homogeneidad e isotropía del espacio y las propiedades estocásticas específicas que tienen como consecuencia el movimiento difusivo.

Esto hace que los modelos de reacción difusión sean poco realistas para la descripción de reacciones químicas en medios desordenados y/o en medios fuera de equilibrio termodinámico, características típicas de muchos sistemas físicos y biológicos. Nuestro estudio se enfoca en las consecuencias que tiene la difusión anómala en los fenómenos de formación de patrones y propagación de ondas químicas en sistemas de reacción difusión.

La manera en la que en este trabajo se modela la difusión es mediante derivadas fraccionarias y ecuaciones de difusión generalizadas. Las derivadas fraccionaras son operadores no locales que aparecen como una generalización del concepto de derivada. Estos operadores dependen de un parámetro que puede variar de manera continua y se reducen a los operadores diferenciales típicos cuando dicho parámetro es un número entero.

Cuando queremos estudiar un fenómeno con difusión anómala es conveniente empezar con un modelo de reacción difusión normal, como el propuesto por Barrio et al, conocido como el modelo BVAM.6 Es importante entonces estudiar las diferencias esenciales que existen entre la difusión normal y la difusión anómala. Lo siguiente sería tratar los modelos de reacción difusión generalizados y su análisis, estudiando así las consecuencias que tiene la difusión anómala en la formación de patrones y en la propagación de frentes de onda en sistemas bi­estables.16 Cuando es posible ésto se hace de manera analítica y cuando no, el estudio se lleva a cabo de forma numérica.

1 Grégoire Nicolis, Ilya Prigogine, Exploring complexity, W.H Freeman and Company, New York (1989).
2 _________________________,Self­Organization in Nonequilibrium Systems, Jonh Wiley and Sons (1977).
3 A.M.Turing, Philos.Trans.R.Soc.London, (B237), (1952).
4 V.Castets, E.Dulos, J.Biossonade, and P.D. Kepper, Phys.Rev.Lett. 642953, (1990).
5 Y.Kuramoto, Chemical Oscillations, Waves, and Turbulence, Dover Publications, Mineola New York (2003).
6 R.A.Barrio, C.Varea, J.L.Aragón and P.K.Maini, Bulletin of Mathematical Biology, 61 (1999).
7 J.D. Murray, Mathematical Biology, Springer Verlag, (2003).
8 K.G. Almann, G.E. Gorman, W.V. Saarloos, Physics Reports, Volume 301, Number 1, (1998).
9 J. von Hardenberg, E. Meron, M.Shachak, and Y.Zarmi, Phys.Rev.Lett87, 19801, (2001).
16D. Hernández, R. Barrio and C. Varea, Wave­front dynamics in systems with directional anomalous difusion, Phys. Rev. E 74, 046116 (2006).

*Agradecimientos: a R.A. Barrio por la invitación a escribir este artículo y el apoyo financiero de CONACYT a través del proyecto 79461.

 
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