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Sobre
dimensiones
Para
dar respuesta a estas estructuras “monstruosas”
o “patológicas” que no
se ajustaban a las dimensiones con números
enteros, tal como reza la geometría
de Euclides, surgen los trabajos de Félix
Hausdorff en 1919. En ellos se demuestra que
la dimensión que ocupa cada objeto,
podría calcularse si se encuentra el
factor de escala mediante el cual matemáticamente
dicho objeto se puede reproducir. Esto es,
para ciertas figuras ideales se puede decir
que su dimensión no es un entero sino
que una fracción (Mandelbrot, 1977/1987).
Al observar la Figura 1 se ilustra cómo
se puede calcular la dimensionalidad de un
objeto geométrico.
El
concepto intuitivo de la dimensión
de un objeto se puede expresar de una manera
muy simple bajo la forma de la ley de escala
a = sD. Ahora bien, tal como aparece en la
Figura 1, si se divide un segmento en, por
ejemplo, tres partes iguales, el total es
tres veces más largo que cada trozo.
Si se divide un cuadrado en porciones iguales,
de manera que el lado del cuadrado total sea
tres veces mayor que el de los cuadrados en
que éste se divide, se obtienen 32,
es decir 9 porciones. Para un cubo se obtiene
a =33 cubitos componentes iguales. La dimensión
de la geometría euclidiana clásica,
dada por un exponente entero, aparece también
en las unidades de longitud usuales: metro
cuadrado = m2, metro cúbico = m3 (Jürgens,
Peitgen & Saupe, 1990).
Bajo esta nueva forma de análisis,
descrita inicialmente por Hausdorff, se puede
lograr el cálculo de la dimensión
de aquellas “estructuras monstruosas”.
Algunas estructuras clásicas se muestran
en la Figura 2. Al igual que en el ejemplo
anterior, al dividir los objetos en partes
iguales, se puede expresar el número
de partes en función del factor de
escala de acuerdo con la ley a = sD. Despejando
D se obtiene: D = log a / log s. Se ve que,
por ejemplo, la curva de Koch puede construirse
juntando cuatro porciones iguales, siendo
la curva total tres veces mayor que cada una
de las partes.
De
este modo se observa que algunos objetos matemáticos
y probablemente muchos objetos naturales frecuentemente
se encuentran en una dimensión no entera
en el espacio, es decir, su dimensión
es un número decimal mayor que la dimensión
topológica de origen (número
entero) del mismo.
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