Kant y Hilbert

La postura de Hilbert ante la filosofía de Kant no es tan divergente como pudiera parecer a primera vista. Por el contrario, como a continuación veremos, algunas de sus ideas están inspiradas o son muy cercanas a las de Kant.

Por ejemplo, el rechazo de Hilbert al constructivismo de Kant se da como parte de un movimiento hacia una mayor generalidad en las matemáticas. Simplemente, extiende el dominio de esta última a zonas excluidas por la filosofía crítica, renunciando a la idea de que las matemáticas hayan de contener verdades necesarias. Tales zonas antes descartadas ya están previstas en la filosofía de Kant cuando afirma:

El conocimiento de un objeto implica el poder demostrar su posibilidad, sea porque la experiencia testimonie su realidad, sea a priori, mediante la razón. Puedo, en cambio, pensar lo que quiera, siempre que no me contradiga, es decir, siempre que mi concepto sea un pensamiento posible, aunque no pueda responder de si, en el conjunto de todas las posibilidades, le corresponde o no un objeto. Para conferir validez objetiva (posibilidad real, pues la anterior es simplemente lógica) a este concepto, se requiere algo más.²⁸

No es que Kant se haya equivocado respecto a las matemáticas de su tiempo; más bien, fueron las matemáticas las que cambiaron. Pasaron del conocimiento por construcción de conceptos a la consideración de “cualquier cosa pensada” tal como lo concede Kant en el pasaje anterior. No debemos olvidar el contexto histórico de Hilbert, quien vivió en una época en la que la insistencia de Kant en un solo sistema de geometría para el mundo físico ya no tenía sentido. Ahí está también la tesis kantiana acerca de la imposibilidad trascendental del espacio no euclidiano, la cual, según él, se funda en el hecho de que el espacio de la percepción obedece las leyes de la geometría euclidiana, única experiencia espacial posible para nosotros.²⁹ Una idea perfectamente viable en el siglo dieciocho, y perfectamente inviable a finales del siglo diecinueve o (posteriormente) a la luz de la teoría de la relatividad.

Al respecto, Hilbert rechaza no tanto la tesis en sí, sino su radicalidad: ¿No tiene Kant algo de razón al decir que el espacio de la percepción obedece las leyes de geometría euclidiana? Si limitamos esta afirmación al espacio de la hoja de papel en que trazamos figuras, a la superficie del pizarrón o a nuestro entorno sensible inmediato, puede que así sea. Todo se reduce entonces a una cuestión de “ámbitos de validez”.

Esta es la base intuitiva que Hilbert le confiere a la geometría elemental: sus axiomas consignan los dictados de nuestra intuición al considerar figuras espaciales. Esta idea se refuerza al reflexionar en torno a las palabras iniciales de los Grundlagen:

La geometría —al igual que la aritmética— requiere para su desarrollo sistemático sólo de un reducido número de principios básicos simples. Estos principios son conocidos como axiomas de la geometría. Establecer axiomas para la geometría e investigar la forma en que se relacionan entre sí es un problema que se ha discutido desde la época de Euclides en diversas y admirables contribuciones a la literatura matemática. El problema en cuestión equivale al análisis lógico de nuestra intuición espacial.³⁰

Hilbert ubica el origen de los conceptos y los axiomas geométricos en el ámbito de la intuición, mas no en el de la intuición pura, sino en la consideración de lo que la intuición sensible supone.³¹ La tarea del análisis lógico consiste precisamente en tender un puente entre nuestra intuición espacial y el entendimiento. No ve en los axiomas verdades necesarias, sino proposiciones que pueden ser refutadas por la experiencia o incluso contradecirse entre sí: la intuición también nos puede confundir o engañar (por ello la prueba de consistencia que ofrece en el capítulo 2).

Aquí lo que está en juego no es tanto si las proposiciones de la geometría son sintéticas a priori o no; más bien, se trata de la vaguedad de nuestras intuiciones. Esto ya lo había advertido Felix Klein en 1898: “Los resultados de cualesquiera observaciones son válidos únicamente dentro de ciertos límites de exactitud y bajo condiciones particulares; al establecer los axiomas, sustituimos esos resultado por aseveraciones de absoluta precisión y universalidad.”³² En los Grundlagen de Hilbert, también, la percepción de las relaciones espaciales se encuentra idealizada en los axiomas. Esto lo da a entender Hilbert a través de un epígrafe, tomado de la Crítica de la razón pura de Kant, que coloca al inicio del libro: “Así, todo conocimiento humano se inicia con intuiciones, pasa de éstas a los conceptos y termina en las ideas.”

Hilbert ve en su teoría axiomática algo similar a las ideas en el sentido de Kant, es decir, un objeto de la razón que carece de realidad y que en su perfección sobrepasa la posibilidad de la experiencia. Esto es así porque los axiomas, en su conjunto, no son susceptibles de una comprobación plena. Podemos ver ahora cómo es que Hilbert tomó algunas ideas de Kant y las adaptó a su filosofía de las matemáticas. No obstante, lo expuesto hasta aquí no es sino la mitad de esta historia. La otra mitad la veremos después de pasar lista al intuicionismo de Brouwer.