Superconductividad

La superconductividad es uno de los fenómenos más interesantes de la física, porque es una manifestación macroscópica del comportamiento cuántico de la materia, donde la correlación electrónica juega un papel fundamental. El estado superconductor aparece en ciertos materiales cuando son enfriados por debajo de cierta temperatura (llamada temperatura crítica).

Los materiales en este estado se caracterizan por presentar resistencia eléctrica cero y por expulsar el campo magnético de su interior (efecto Meissner). Las posibilidades tecnológicas de estos materiales son enormes y comprenden desde su aprovechamiento en líneas de conducción de electricidad hasta su uso en trenes levitados. Sin embargo, las bajas temperaturas que se necesitan para mantenerlos en el estado superconductor han limitado su uso a equipos que requieren de dispositivos de enfriamiento bastante costosos. A finales de los años cincuenta del siglo pasado surgió una teoría, llamada BCS en honor de sus autores Bardeen, Cooper y Schrieffer,⁵ que describe bastante bien las propiedades físicas de los superconductores conocidos hasta entonces (llamados superconductores convencionales) y cuyas temperaturas críticas no exceden los 25 Kelvin. Sin embargo, en 1986 se descubrió una nueva familia de superconductores,⁶ cuyas temperaturas críticas superaron los 77 Kelvin ⁷ (que es la temperatura de licuefacción del nitrógeno a presión atmosférica), y que hoy se conocen como superconductores de alta temperatura crítica, o bien como cupratos superconductores, ya que todos ellos contienen planos atómicos de cobre y oxígeno.

A pesar de que han transcurrido más de 20 años desde su descubrimiento, hoy en día no existe ninguna teoría que explique cómo surge el estado superconductor en estos materiales. Es por ello que la investigación teórica en este campo sigue muy activa. Además, este conocimiento podría permitir el desarrollo de nuevos materiales que sean superconductores a temperaturas aún más altas, quizá a temperatura ambiente, lo cual desencadenaría una nueva revolución industrial y tecnológica. El misterio que aún no ha sido resuelto es por qué los electrones en estos materiales se unen para formar pares, llamados pares de Cooper, los cuales se encuentran en un estado que puede conducir corriente eléctrica sin resistencia. Para ello se ha propuesto una gran variedad de modelos teóricos, muchos de ellos basados en hamiltonianos fermiónicos como el de Hubbard, el cual considera la interacción electrón-electrón de manera local, es decir, supone que los electrones de conducción solamente interactúan cuando se encuentran en átomos vecinos o en un mismo átomo. La solución de la ecuación de Schrödinger con este hamiltoniano, que daría la función de onda del estado base, ha resultado un gran reto teórico-computacional. Podemos mencionar, a manera de ejemplo, dos formas de abordar este problema, pero todas llevan ineludiblemente al empleo de supercomputadoras, como veremos a continuación.

Un método consiste en diagonalizar de manera exacta la matriz hamiltoniana para sistemas pequeños, lo cual permite examinar tendencias en las correlaciones de muchos electrones. Este método es particularmente útil para interacciones de corto alcance, en donde el tamaño finito del sistema no tiene efectos muy importantes, y los resultados obtenidos pueden utilizarse para comprobar los resultados de otros métodos aproximados. Técnicamente, la diagonalización exacta consiste en resolver el problema de eigenvalores (o valores propios) de una matriz hamiltoniana dada. En general, el tiempo de cómputo que requiere la operación matemática de diagonalizar una matriz escala con el cubo de la dimensión de la matriz.⁸ Esto significa que, por ejemplo, un cálculo de este tipo en una matriz dos veces más grande requerirá 8 veces más tiempo, mientras que un sistema 10 veces más grande tomará un tiempo ¡1000 veces mayor! Para un modelo de electrones, como el de Hubbard, una base ortonormal natural del espacio de Hilbert ⁹ asociado al sistema, es la base de los números de ocupación de los electrones, la cual incluye los estados que describen todas las posibles distribuciones de electrones con espín hacia arriba y electrones con espín hacia abajo en una red de N átomos o sitios. De esta manera, la dimensión M del espacio de Hilbert está dada por

donde

Para un sistema de 20 sitios (N=20) y10 electrones con espín hacia arriba y 10 electrones con espín hacia abajo , esta dimensión es 3.4x10¹⁰, mientras que para un sistema con 30 sitios y 15 espines de cada orientación, esta dimensión es del orden de 2.4x10¹⁶. Como la matriz hamiltoniana es de tamaño MxM este método solamente puede aplicarse a sistemas muy pequeños y, aún así, se requiere de una gran capacidad de cómputo. Cabe mencionar que el uso de simetrías del hamiltoniano permite reducir considerablemente el tamaño de la matriz a diagonalizar. A manera de ejemplo, podemos mencionar que uno de los problemas a los que se enfrenta un investigador, al utilizar el método de diagonalización exacta, es el almacenamiento de los elementos de la matriz hamiltoniana en la computadora para realizar cálculos con ellos. Para ello existen diversas posibilidades. Una de ellas es guardarlos en la memoria RAM de la computadora, pero obviamente existen limitaciones de espacio para ello. También podrían guardarse en el disco duro, lo que en principio es posible debido al enorme espacio en disco que tienen la mayoría de las computadoras, pero la rapidez de acceso a disco es menor que el tiempo que requiere el acceder a la memoria RAM. Finalmente, dichos elementos de matriz pueden calcularse cada vez que se necesiten, lo que permite aprovechar la rapidez de los procesadores de la supercomputadora, además de facilitar la paralelización de los procesos involucrados.

El método de diagonalización exacta se emplea hoy en día no sólo para investigar modelos fermiónicos como el de Hubbard, sino también el magnetismo cuántico, el efecto Hall cuántico fraccionario y el método de interacción de configuraciones de la química cuántica. Otra forma de abordar la investigación del estado superconductor, a partir de modelos electrónicos como el de Hubbard, consiste en realizar aproximaciones de tipo campo medio en el hamiltoniano. De esta manera algunas cantidades físicas involucradas en el problema, representadas por operadores cuánticos, se reemplazan por sus valores promedio. A partir de un formalismo sofisticado, la determinación de las propiedades físicas del estado superconductor puede reducirse a un par de ecuaciones integrales acopladas con dos incógnitas, que son la brecha superconductora y el potencial químico del sistema.¹⁰ Aquí aparecen dos problemas que requieren, otra vez, de alta capacidad de cómputo. Por una parte, se emplean algoritmos numéricos para resolver ecuaciones acopladas que requieren calcular dichas ecuaciones en un gran número de puntos en el espacio de las soluciones. Asimismo, cada evaluación de las ecuaciones implica el cálculo de integrales complejas,¹¹cuya dimensión es la misma que la del sistema bajo estudio y que requieren de millones de evaluaciones de las funciones integrando, por lo que la rapidez de los procesadores utilizados en los cálculos numéricos juega un papel primordial para la obtención de resultados en un tiempo razonable.

Para finalizar hay que señalar que, además de los métodos numéricos mencionados, hay otros que también son muy utilizados en la investigación de modelos electrónicos, como por ejemplo el método de Monte Carlo cuántico y el grupo de renormalización de la matriz densidad. Este último es, hoy en día, el método más eficiente para estudiar la correlación electrónica en sistemas unidimensionales.

5. J. Bardeen, L.N. Cooper, J.R. Schrieffer. “Theory of Superconductivity”, Physical Review (1957) 108, 1175 .
6. J. G. Bednorz and K. A. Müller, “Possible high Tc superconductivity in the Ba-La-Cu-O system”, Z. Physik. B (1986) 64, 189.
7. M. K. Wu, J. R. Ashburn, C. J. Torng, P. H. Hor, R. L. Meng, L. Gao, Z. J. Huang, Y. Q. Wang, and C. W. Chu, “Superconductivity at 93 K in a New Mixed-Phase Y-Ba-Cu-O Compound System at Ambient Pressure”, Physical Review Letters (1987) 58, 908.
8. M.J. Field, “A practical introduction to the simulation of molecular systems”, Cambridge University Press, 2007.
9. Los sistemas cuánticos son descritos por funciones o vectores de onda. Cualquier función de onda de un sistema dado puede escribirse como una combinación lineal de un conjunto de funciones base. El conjunto de funciones que se pueden representar a partir de esta base es el espacio de Hilbert del sistema.
10. G. Rickayzen, Theory of superconductivity. Interscience Publishers, New York, 1965.
11. L.A. Pérez, J.S. Millán, E. Shelomov, C. Wang, “Analysis of the BCS equations for anisotropic superconductivity”, Journal of Physics and Chemistry of Solids (1987) 69, 3369.

Supercómputo en la física de la materia condensada:dos ejemplos
Luis Antonio Pérez López