Según Kant, lo hecho por el geómetra expone la esencia del método matemático. Este punto lo destaca por comparación. Dice: "El conocimiento filosófico es un conocimiento racional derivado de conceptos; el conocimiento matemático es un conocimiento obtenido por la construcción de los conceptos." [CRP, A 713, B 741] y añade: "[...] el conocimiento filosófico sólo considera lo particular en lo universal; las matemáticas, lo universal en lo particular, e incluso en lo singular, pero sólo a priori y por medio de la razón." [A 714, B 742]. Para destacar la diferencia nos pide imaginar qué pasaría si preguntáramos la cuestión anterior a un filósofo (es decir, la relativa a las cuerdas secantes), dejándolo hallar la respuesta a su manera. El punto es que nunca lo haría. Sólo contaría con los conceptos de círculo, arco, segmento y ángulo. Por mucho que reflexionara sobre estos conceptos no sacaría ninguna conclusión nueva (no podría seguir el camino del geómetra: trazar un círculo sería considerar lo universal en lo particular, pero él "sólo considera lo particular en lo universal"). Nuestro filósofo podría analizar y clarificar tales conceptos, pero nunca llegaría a propiedades no contenidas en ellos.
Visto desde esta perspectiva, el conocimiento matemático hace un uso esencial del paso entre los conceptos generales y las intuiciones (individualizaciones) que los representan, al grado que sin él no podría avanzar. Este uso de los conceptos in concreto es, según Kant, el rasgo distintivo del método matemático y en él basa la idea de que sus juicios son sintéticos a priori.
Miremos esta situación con relación a nuestro ejemplo. ¿Qué elementos intervienen en la demostración anterior? Para empezar, tenemos un círculo trazado en el papel (o, en su caso, en la imaginación o en el monitor de la computadora). Dicho círculo representa de manera particular un concepto general (el concepto de círculo). De igual modo tenemos dos cuerdas AB y CD que, de la misma manera, representan al concepto correspondiente. Estas figuras son la construcción del concepto en la intuición. No obstante, a pesar de que se trata de objetos singulares, no se trata de intuiciones empíricas, pues en su argumento el geómetra sólo se sirve de aquello que corresponde a todas las intuiciones particulares que representan al concepto; por ejemplo, no considera la longitud de las cuerdas o el radio del círculo que ha trazado. Así, aunque las figuras usadas son empíricas, sólo sirven para representar la universalidad de los conceptos correspondientes.
Ahora bien, en la demostración anterior hay algo más. Una vez representados los conceptos, se añadieron algunas construcciones auxiliares a fin de evidenciar ciertas propiedades de las figuras. Tenemos, por ejemplo, la línea AC que muestra de golpe la igualdad de los ángulos ADC y ABC. En general, tales construcciones tienen como propósito completar la figura, preparando de este modo el escenario para la demostración. A su vez, el argumento final ya no incluye construcciones adicionales; más bien, consiste en una serie de inferencias relacionadas con la figura completada con los trazos auxiliares. En este caso, como en todos, las inferencias se apoyan en: (a) los axiomas de la geometría, (b) algunas propiedades de figuras geométricas previamente demostradas, y (c) las propiedades de la figura que derivan de su construcción.
Una
vez alcanzada la conclusión deseada, el geómetra anuncia
una respuesta: "la relación entre los segmentos de cualesquiera
cuerdas que se cortan en el interior de un círculo es que el producto
de los segmentos de una de ellas es igual al producto de los segmentos
de la otra." Pasa de esta manera de una construcción particular
a un enunciado general.3
El esquema lo expresa Parsons con suma pulcritud: Habiendo asumido una
a particular tal que Fa, se deduce Ga. Se tiene por
tanto Fa
Ga.
No obstante, como a es arbitraria, se sigue que 
.4
Este es el argumento de Kant: la matemática es sintética porque sus resultados se obtienen realizando construcciones. La matemática es a priori porque sus construcciones no son empíricas (por ello el geómetra puede afirmar la validez del resultado con relación a todas las intuiciones correspondientes al concepto). Como veremos, estas afirmaciones tienen hoy en día un valor relativo. La aparición de la lógica cuantificacional en el siglo XIX permitió substituir tales modos de razonamiento con argumentos enteramente lógicos. Obviamente, la substitución fue concomitante a la formulación de un cuadro más detallado de axiomas.