Para demostrar que en el triángulo T[ABC] de la figura 2 los lados L[AC] y L[BC] tomados juntos son mayores que el tercer lado L[AB], Euclides procede de la siguiente manera: primero lleva a cabo una construcción que consiste en prolongar el lado L[AC] de modo que el lado L[CD] resulte igual al lado L[BC].⁹ Enseguida traza el segmento L[BD] lo que le permite obtener a su vez el triángulo T[ABD]. Se observa entonces que en el triángulo T[BCD] dos de sus lados son iguales y por lo tanto lo son también los ángulos que se les oponen. También se observa que el ángulo ?(CBD), que es igual al ángulo ?(BDC), es menor que el ángulo ?(ABD); por lo que se puede asegurar entonces que el lado L[AB] es menor que el lado L[AD]. Pero este lado L[AD] resulta, por construcción, igual a los lados L[AC] y L[BC], con lo cual queda demostrada la proposición.

En este caso podemos asegura también, siguiendo a Kant, que se trata de una proposición sintética que no se puede derivar analíticamente del concepto de triángulo, y es también claro el papel que la construcción desempeña en esta proposición ya que sin ella no es posible sostener la relación cuantitativa de los lados del triángulo. Podemos señalar dos características interesantes de esta construcción: por un lado podemos notar el hecho de que la igualdad de los lados L[CD] y L[BC] –junto con la igualdad de los ángulos que se les oponen, los ángulos ?(CBD) y ?(CDB) en el triángulo T[BCD]– es una consecuencia directa del trazo realizado: el haber prolongado el lado L[AC] de modo que el lado L[CD] resulte igual al lado L[BC]. Pero junto con ello se debe señalar que la condición que permite concluir el teorema, el que el ángulo ?(CBD) resulte más pequeño, por ser una parte de él, que el ángulo ?(ABD), es una condición que no es una consecuencia directa del trazo realizado sino una condición que se deriva, independientemente de la longitud del lado L[CD], como consecuencia de que el primero es una parte del segundo. Es claro que esta demostración puede ser explicada de la siguiente manera: para probar que en el triángulo T[ABC] los lados L[AC] y L[BC] tomados juntos son mayores que el tercer lado L[AB], se construye, mediante un trazo auxiliar, el triángulo T[ABD] en el que uno de sus lados es L[AD] –la suma de los dos lados L[AC] y L[BC] del triángulo original– y otro lado es L[AB]; se trata de hacer ver en este segundo triángulo que el lado L[AD] es mayor que el lado L[AB]. La demostración de Euclides nos permite ver que esto se sigue del hecho que al primero de los lados se opone un ángulo que es mayor que aquel que se opone al segundo lado. Es de la relación que guardan en entre sí los ángulos que se puede derivar la relación que tienen entre sí los lados del triángulo.

Es claro que esta afirmación tiene una estrecha vinculación con la primera proposición que hemos comentado, la que hemos explicado a través de la primera figura. La igualdad de los dos triángulos en esta primera figura se deriva del hecho de que el ángulo ?(ABC) es igual al ángulo ?(A’B’C’) y de manera clara esta igualdad es la que permite asegurar la igualdad de los lados L[AC] y L[A’C’]. Otro modo de ver esta conclusión, y que muestra el vínculo que hemos mencionado, es que si en los triángulos T[ABC] y T[A’B’C’] los ángulos ?(ABC) y ?(A’B’C’) fuesen distintos, digamos que el primero sea más grande que el segundo, entonces el lado L[AC] resultaría mayor que el lado L[A’C’]. A ángulos iguales se oponen lados iguales y a ángulos distintos se oponen lados distintos, siendo mayor el lado que se opone al ángulo mayor. Estas conclusiones que permiten vincular las dos proposiciones que hemos comentado muestran claramente, como lo afirma Kant, su carácter sintético ya que ninguna de ellas puede ser contenida en el concepto mismo de triángulo de modo que sea deducida analíticamente de éste: nuevamente en el concepto de triángulo se encuentra contenida la noción de que existen tres lados y tres ángulos que se oponen a los lados, pero que la relación de igualdad o desigualdad de los lados de un triángulo se corresponda, al grado que se puede deducir de ella, de la relación de igualdad o desigualdad entre los ángulos que en el triángulo se les oponen, no es una condición que se pueda derivar analíticamente del concepto de triángulo.