Relaciones de equivalencia

Las relaciones de equivalencia son relaciones entre los elementos de un conjunto cualquiera y su característica principal es que abstraen el concepto de igualdad.

La importancia de estas relaciones consiste en que dividen a los elementos del conjunto en diferentes clases, llamadas clases de equivalencia, de tal suerte que cada elemento pertenece a una y sólo una clase.

Tomemos un conjunto cualquiera y sean y dos elementos en (lo cual denotamos por ). Si está relacionado con escribiremos . Una relación de equivalencia en es una relación que satisface las siguientes propiedades:

Reflexividad: para toda en .

Simetría: si , entonces .

Transitividad: si y , entonces .

Es fácil ver que la igualdad entre elementos de cualquier conjunto satisface las propiedades anteriores. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1   Usemos como conjunto una bolsa de lunetas¹ y como relación: tiene el mismo color que . Veamos que efectivamente es una relación de equivalencia:

Reflexividad: toda luneta tiene el mismo color que sí misma,

Simetría: si la luneta tiene el mismo color que la luneta , entonces la luneta tiene el mismo color que la luneta ,

Transitividad: si tiene el mismo color que y el mismo color que , entonces tiene el mismo color que .

Ejemplo 2   De manera análoga, es fácil ver que los siguientes ejemplos son relaciones de equivalencia:

1. Sea el conjunto de todos los seres humanos y la relación: tiene el mismo cumpleaños que .
2. Sea todos los seres humanos y la relación: tiene el mismo signo del zodiaco que .

Notemos que en los ejemplos anteriores estamos usando el mismo conjunto y dos relaciones diferentes en él. Estas relaciones se pueden comparar, por que si dos personas tienen el mismo cumpleaños, entonces tienen el mismo signo del zodiaco, es decir, la relación en el ejemplo a) implica la relación en el ejemplo b), pero no al revés, pues hay personas que son Géminis pero que tienen cumpleaños distintos.

Para ver que no todas las relaciones son de equivalencia analicemos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 3   Nuevamente todos los seres humanos y la relación: es hermano de (de sangre por parte de padre y madre). Claramente esta relación es simétrica (si es hermano de , entonces es hermano de ), pero no es reflexiva (nadie es hermano de sí mismo) y tampoco es transitiva (ya que si es hermano de , entonces es hermano de , pero como vimos no es hermano de ). Sin embargo, esta relación es casi transitiva, es decir, si es hermano de , es hermano de y , entonces es hermano de . Si en la relación consideramos también a los medios hermanos, entonces la transitividad puede fallar en más casos.