Relaciones de equivalencia en Matemáticas

En Matemáticas se estudian muchos tipos de objetos, como por ejemplo, conjuntos, grupos, espacios topológicos, por mencionar sólo algunos. Para estudiarlos, se dividen en distintas categorías, las cuales consisten de dos ingredientes: los objetos mismos y de unas cosas llamadas morfismos que sirven para relacionar o comparar a los distintos objetos.

Ejemplo 9.   Consideremos la categoría de conjuntos, en la cual los objetos son obviamente los conjuntos y los morfismos son las funciones entre dos conjuntos, las cuales asocian a todo elemento del primer conjunto uno y sólo un elemento del segundo conjunto. Si y son dos conjuntos, una función del conjunto en el conjunto se denota por y si , entonces denota al elemento de asociado a mediante la función .

Si en (3) consideramos la asignación dada por las flechas que van de izquierda a derecha tenemos una función del conjunto en el conjunto , con las flechas de derecha a izquierda tenemos una función del conjunto en el conjunto . En (4) las flechas definen una función del conjunto en el conjunto , pero las flechas no definen una función del conjunto en el conjunto , pues el elemento no tiene asociado ningún elemento del conjunto .

Ejemplo 10.  Otro ejemplo de categoría es la categoría de grupos, en la cual los objetos son los grupos. Un grupo es un conjunto que tiene una operación binaria , es decir, dados dos elementos se pueden operar (como sumar o multiplicar) para obtener otro elemento , lo cual se escribe . Además tiene un elemento neutro , es decir para todo elemento , y todo elemento tiene un elemento inverso es decir .

Es fácil ver que el conjunto de los números enteros con la operación suma +, es un grupo donde el elemento neutro es el 0 y el elemento inverso del entero es . Si al conjunto de los números racionales (las fracciones positivas y negativas) le quitamos el 0, entonces con la operación multiplicación x, es un grupo donde el elemento neutro es el y el elemento inverso de la fracción es . Los números naturales no son un grupo con la operación suma +, pues no existen los elementos inversos. Otro ejemplo de grupo es el conjunto con la operación multiplicación x, donde el elemento neutro es el y cada elemento es su propio elemento inverso. Al final del Ejemplo 7 vimos que el conjunto tiene solamente de dos elementos, la clase de equivalencia que consiste de todos los números pares y la clase de equivalencia que consiste de todos los números impares. El conjunto es un grupo con la operación suma , definida de la siguiente manera:

         (5)

la cual refleja que la suma de dos números pares es nuevamente par, la suma de un número par y un número impar es impar y la suma de dos números impares es par. También se observa que es el elemento neutro y cada elemento es su propio elemento inverso.

Los morfismos en la categoría de grupos se llaman homomorfismos y son funciones que preservan las operaciones, es decir, si tenemos al grupo con la operación + y al grupo con la operación , entonces un homomorfismo del grupo al grupo , es una función del conjunto en el conjunto , tal que si , entonces .

Un ejemplo de un homomorfismo está definido de la siguiente manera: si es par, entonces , si es impar, entonces . Es fácil ver que si , entonces .

En una categoría hay un tipo especial de morfismos llamados isomorfismos, dados dos objetos en la categoría, no necesariamente existe un isomorfismo entre ellos, pero si existe, decimos que dichos objetos son isomorfos⁶. En una categoría podemos definir una relación de equivalencia definiendo que dos objetos están relacionados si son isomorfos. Las clases de equivalencia consisten de todos los objetos que son isomorfos entre sí, por lo que se les llama clases de isomorfismo. Dichas clases son muy importantes en Matemáticas, pues en una categoría dos objetos isomorfos son considerados como iguales, por lo tanto, al estudiar una categoría dada, uno de los objetivos es encontrar todas las clases de isomorfismo, pues así se conocerán todos los objetos de la categoría que son esencialmente distintos.

Por otra parte, muchas veces dentro de una clase de isomorfismo hay algún objeto que es más simple que todos los demás al cual se le llama objeto reducido y en general es más fácil estudiar al objeto reducido en vez de estudiar cualquier otro objeto isomorfo. También las distintas clases de isomorfismo se pueden representar usando dichos objetos reducidos.

Esto es análogo al Ejemplo 4 donde las clases de equivalencia se podían ver como fracciones, en la clase de equivalencia la pareja es el elemento más simple, en el sentido de que ambos números son primos relativos entre sí, es decir, es el único divisor común.

En la categoría de conjuntos los isomorfismos son las biyecciones, (3) es una biyección entre los conjuntos y y por lo tanto son isomorfos. En general, dos conjuntos son isomorfos si tienen el mismo número de elementos.

En la categoría de grupos los isomorfismos son los homomorfismos que son también biyecciones. Los grupos y son isomorfos mediante el isomorfismo dado por la siguiente biyección

la cual es un homomorfismo pues tenemos que las igualdades

son exactamente las “mismas” igualdades que en (5), pero reemplazando por , por y + por x. En este ejemplo se puede ver por qué objetos isomorfos (misma forma) son considerados como iguales, pues vemos que los grupos y son prácticamente el mismo, solamente con los nombres de los elementos y la operación cambiados, o como dice el dicho popular, son “la misma gata, nada más que revolcada”.

En muchas categorías en Matemáticas sus objetos constan de un conjunto con una estructura adicional. Por ejemplo, los grupos son conjuntos y la estructura adicional es la operación binaria. Este tipo de objetos, al ser conjuntos, podemos definir relaciones de equivalencia en ellos y obtener su conjunto cociente, es decir, el conjunto de clases de equivalencia y en general a dicho conjunto cociente se le puede dotar de una estructura adicional para que sea un objeto de la categoría en cuestión, a dicho objeto se le llama objeto cociente. Nuevamente esto se comprende mejor con un ejemplo.

En el Ejemplo 10 vimos que el conjunto de los números enteros es un grupo con la operación suma +. En el Ejemplo 7, definimos la congruencia módulo , la cual es una relación de equivalencia en y el conjunto cociente es el conjunto al cual dotamos de una operación suma +, definida por (5) la cual convierte al conjunto en un grupo. Por lo tanto, es el grupo cociente obtenido por la relación de equivalencia dada por la congruencia módulo 2.