Clases de equivalencia

Veamos ahora cómo una relación de equivalencia divide al conjunto en el que está definida. Sea un conjunto con una relación de equivalencia . Tomemos un elemento de nuestro conjunto , es decir . La clase de equivalencia de , la cual denotaremos por , es el subconjunto de formado por todos los elementos de que están relacionados con , es decir . En símbolos, esto se escribe así:

De todo elemento en (por ejemplo ) decimos que es un representante de la clase . Veamos algunos ejemplos:

• En el Ejemplo 1, la clase de equivalencia de una luneta roja es el montoncito con todas las lunetas rojas.

• En el Ejemplo 2a) de los cumpleaños, la clase de equivalencia de Albert Einstein está formada por todas las personas que cumplen años el 14 de marzo.

• En el Ejemplo 2b) de los signos del zodiaco, mi clase de equivalencia está formada por todas las personas que son Aries.

No es difícil convencerse de que dadas cualesquiera dos clases de equivalencia tenemos sólo dos posibilidades, o son la misma, o son ajenas, es decir, no tienen elementos en común. Veamos esto en nuestros ejemplos.

• En el Ejemplo 1, tomemos dos lunetas, si son del mismo color (digamos rojas) entonces sus respectivas clases de equivalencia son la misma (el montoncito con todas las lunetas rojas). Si son de distinto color (roja y azul, por ejemplo), entonces sus clases de equivalencia (el montoncito rojo y el montoncito azul) no tienen elementos en común (no hay lunetas que sean rojas y azules al mismo tiempo).

• Análogamente, en el Ejemplo 2a) dos personas que cumplan años el mismo día tienen la misma clase de equivalencia y, por ejemplo, las clases de equivalencia de Benito Juárez y Albert Einstein no tienen elementos en común, pues no existe ninguna persona que cumpla años el 21 de marzo y al mismo tiempo el 14 de marzo.

Entonces tenemos que las clases de equivalencia parten al conjunto , donde cada clase de equivalencia es una parte. En este caso, los matemáticos decimos que toda relación de equivalencia induce una partición en el conjunto . Por lo tanto, las clases de equivalencia clasifican a los elementos de , poniendo a cada elemento en su correspondiente clase de equivalencia.

Una de las propiedades más importantes de las clases de equivalencia aparece cuando formamos un nuevo conjunto cuyos elementos son las clases de equivalencia, es decir, olvidamos que cada clase de equivalencia puede estar formada por muchos elementos de y la pensamos como un solo elemento de un nuevo conjunto al que llamaremos . En símbolos esto lo escribimos así:

(el conjunto está formado por todas las clases de equivalencia , donde es un elemento de ). El conjunto recibe el curioso nombre de conjunto cociente. La propiedad importante es que si "vemos fijamente" al conjunto , entonces cada uno de sus elementos (es decir, cada clase de equivalencia) representa la propiedad que tienen en común los elementos de en dicha clase de equivalencia y todo el conjunto representa un nuevo concepto. Como antes, esto se entiende mejor con un ejemplo.

Consideremos nuevamente el Ejemplo 1 donde es una bolsa de lunetas. En este caso, el conjunto tiene como elementos a los montoncitos de distintos colores. En este caso, cada elemento de representa un color, que es la propiedad que tienen en común las lunetas que están en dicha clase de equivalencia (montoncito). Por otro lado todo el conjunto representa los distintos colores que tienen las lunetas: rojo, amarillo, cafe, verde, azul, naranja y morado ²

En otras palabras, abstrae el concepto con el que la relación de equivalencia clasifica a los elementos de . En este caso, el color.

De la misma manera, en el Ejemplo 2a), la propiedad que representa cada clase de equivalencia es un día de cumpleaños y representa, o consiste de todos los días del año. En el Ejemplo 2b), mi clase de equivalencia representa al signo Aries y a todos los signos del zodiaco.