Nelly Rigaud Téllez Resumen La creación del Seminario Quehacer académico y transformación… A guisa de colofón Bibliografía Resumen Un seminario es una forma educativa destinada a enseñar cómo trabajar colectivamente en un campo disciplinario particular para estudiar diferentes aspectos de un problema, mediante un procedimiento efectivo y gradual de intercambio de ideas; y así, consecuentemente, realizar una investigación-acción con propuestas de soluciones. Este artículo tiene por objetivo compartir las reflexiones y experiencias originadas por mi participación en el Seminario Universitario para la Mejora de la Educación Matemática (SUMEM) de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM), con el fin de explicitar los cambios que se lograron a partir de ello, tanto en el ejercicio de la docencia, como en otros ambientes académicos. Se describe el proceso de aprendizaje personal al trabajar en dicho seminario, así como algunas experiencias en las que participan activamente profesores, estudiantes y miembros del proyecto, con el propósito de mejorar la enseñanza de las matemáticas. Palabras clave: proceso de cambio, transformación docente, SUMEM, educación matemática. Transformation in teaching practice before and after SUMEM A seminar is an educative approach towards teaching and working collectively in any particular disciplinary field, in order to study different aspects of a problem; consequently, carries out action research with solution schemes, through an effective and gradual ideas exchange process. This paper aims to share experiences and reflections generated by participating in the University Seminar for the Improvement of Mathematics Education (SUMEM for its acronym in Spanish) of the National Autonomous University of Mexico, in order to make explicit changes in teaching practice and in other academic environments. A personal learning process is described in a mathematical environment, as well as portrays experiences in which teachers, students and seminar members actively participate in the improvement of the teaching task. Keywords: change process, teaching transformation, SUMEM, math education. La creación del Seminario “El que con lobos anda, a aullar se enseña” Refrán popular Yo, igual que muchos profesores, tengo semestre a semestre, la seria intención de mejorar mi quehacer docente; en algunas ocasiones lo logramos, pero en otras tantas resulta de una aridez repelente que, por lo visto, aparenta desanimar a nuestros estudiantes. Constantemente surge el eterno conflicto… más que una cuestión del qué, está el ¿cómo le hago? Y, como en los cuentos de hadas, una mañana del 2012, estaba en mi oficina de la Facultad de Estudios Superiores (FES) Aragón, cuando de repente sonó el teléfono: Ring, ring… – Bueno, ¿Dra. Rigaud? – Sí, a sus órdenes… – Doctora, buenos días ¿Puede pasar a la oficina del Director…? Todavía recuerdo aquella mañana en la que nació mi interés por el mundo matemático; nunca imaginé el giro radical que tendría mi percepción. – Buenos días, Sr. Director ¿En qué puedo servirle? – Hola Nelly, ¿cómo estás?… Te llamé para comentarte que, por parte de la Secretaría de Desarrollo Institucional, se requiere a una persona de esta Facultad que trabaje con las matemáticas, para mejorar el desempeño de nuestros alumnos. Tú sabes, ir a reuniones… En ese momento, yo seguía un método tradicional de enseñanza, equivalente a transmitir y recibir, postura tan influyente que yo asumía resignadamente debido a que provengo de una educación que consistía en articular con claridad ciertas ideas, mientras que aprender significaba escuchar con atención lo que se decía. SUMEM. Si el acondicionamiento educativo es tan persistente, como Savater menciona en su maravilloso libro El valor de educar (1997), en cualquier educación, por mala que sea, hay los suficientes aspectos positivos como para despertar en quien la ha recibido, “el deseo de hacerlo mejor con aquellos de los que luego será responsable” (p. 7). Por fin, un día recibí la notificación de que la reunión de matemáticas sería en la Torre de Rectoría. Cuando vi la lista de miembros, me encontré que todos son grandes personalidades asociadas al mundo de las matemáticas. Aún, no dimensionaba lo que venía. Se nos presentó un panorama desolador del estatus de rendimiento matemático de estudiantes, tanto en la UNAM, como a nivel nacional, y hasta con tintes de nivel mundial. Lo anterior me consternó terriblemente, pues, aunque sabía lo que todos sabemos del problema, no esperaba esa franqueza que sólo la estadística sabe mostrar. A partir de ese momento, sentí que algo brumoso en el ambiente me contagió e inyectó en mí el ímpetu de ser partícipe de un cambio sustancial; dicho sentimiento persiste hasta el día de hoy. ¿Qué es lo que despierta esas pasiones? ¿Qué quisieron dar a entender los académicos cuando afirmaron que estaban a favor de un cambio en la enseñanza-aprendizaje de matemáticas en el bachillerato de la UNAM? De marzo a octubre de 2012 se efectuaron múltiples reuniones dedicadas a analizar extractos de libros y documentos, interpretaciones, críticas, comentarios y exposiciones, en las cuales tuve oportunidad de participar activamente; entonces me percaté que las distintas personas de bachilleratos, facultades, centros e institutos decían cosas diferentes. Los académicos sostenían apasionadamente sus opiniones, existían puntos de convergencia en algunos aspectos, pero se mostraban divergentes en otros. En fin, entendí que el trabajo colegiado, como nos lo planteaban José Luis Abreu y Javier Bracho, es un trabajo continuo y permanente, en el cual se combinan distintas aportaciones y análisis sobre los problemas y situaciones que hay que enfrentar al enseñar y aprender matemáticas. Fueron ellos quienes, posteriormente, me contactaron con Paloma Zubieta, quien con su franca amistad y gran profesionalismo, me indujo a identificar que la percepción y actitud hacia las matemáticas son factores relevantes que requieren de actividades de socialización. Cartel diseñado por Aisne S. Navarro. Lo anterior marcaría nuestro punto de coincidencia: es un gran error pintar a las matemáticas con rostro ceñudo y enojado. Las matemáticas deben ser accesibles a cualquier persona, ya que son parte fundamental de la cultura, de la naturaleza y de la vida, y permean toda actividad humana. Este quehacer universitario, se concretó con un resultado tangible, que fue la presentación denominada “Reforma de la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas en el bachillerato de la UNAM”, que nuestro grupo de trabajo mostró al Dr. José Narro Robles, rector de la Universidad en ese momento. Más que una reforma, considero que quisimos mostrar que los miembros de entidades diversas de la UNAM podemos trabajar juntos; para lo cual nos organizamos en cinco equipos de trabajo dedicados a: 1) la formación y actualización de profesores; 2) la actualización curricular; 3) el diseño de estrategias didácticas para la mejora del aprendizaje; 4) el apoyo académico-administrativo, y 5) la divulgación y difusión de la cultura matemática, de éste último tuve la oportunidad de ser coordinadora. Gracias a la presentación y a su aceptación por parte de la comunidad universitaria, se suscitó en el grupo un espíritu de búsqueda de cambios mayores y de poner manos a la obra; por lo que, en 2013, surge el Seminario Universitario para la Mejora de la Educación Matemática (SUMEM). Mi emoción crecía día tras día. En ese año y el siguiente, se crearon múltiples y atractivas actividades por parte del SUMEM, las cuales me mantuvieron ocupada, pero muy entusiasmada pues trabajaría en varias de ellas con mis nuevas amigas, las matemáticas. Se organizaron diversos eventos académicos como: cursos, talleres, diplomados, actividades de divulgación (Día de pi, cinedebates, rallies y concursos), que fueron muy bien aceptados. En lo personal, me dejó un grato sabor de boca, saber que lo más importante fue hacer consciencia de que mi propia educación matemática seguía un proceso de metamorfosis; ahora leía documentos de divulgación, estudiaba con libros técnicos, me regodeaba al resolver problemas, comprendía parte del argot de mis amigos matemáticos, y comencé a experimentar con software educativo y recursos digitales. Quehacer académico y transformación en el aula En los meses anteriores nos habíamos habituado a tener discusiones que invitaban a la reflexión y análisis sobre el desarrollo del pensamiento matemático y el razonamiento lógico, la comprensión de conceptos matemáticos fundamentales y, en general, consideraciones para mejorar la educación matemática en el bachillerato; todo en un ambiente de respeto que permitía entender otras formas de pensar. Además, con el trabajo colaborativo convertido en una constante, identificamos nuestras responsabilidades y la posibilidad de proponer diferentes iniciativas. Sin embargo, a veces resulta difícil identificar exactamente el momento en que se produce una revelación. Los temas de las matemáticas no entraron en mi consciencia y, mucho menos en mi práctica docente como una centella, sino como una transformación sutil y gradual. Tal vez, antes de mi integración al SUMEM, había llegado a un estado de automatismo académico al usar un libro de texto y con escasa capacidad de juicio independiente –siempre obedece lo que en el texto se dice, nunca decide–, al enseñar a los alumnos unas cuantas habilidades para la solución de algoritmos, sin inculcar en ellos hábitos de disciplina para favorecer su autoaprendizaje; tampoco los apoyaba para que lograran transformarse a sí mismos y comprender que no basta con prepararse para desempeñar un oficio, sino que el principal objetivo de enseñar y aprender, consiste en ser humano y que, como futuros profesionistas, el objetivo de la educación reside en hacerse consciente de la realidad de nuestros semejantes y de sus necesidades. Sin embargo, no todos desean entender el mundo desde las matemáticas, porque, salvo en algunos casos, se le da insuficiente valor social al conocimiento matemático y las actitudes derivadas de esta disciplina llegan a ser poco activas ante el aprendizaje. En una reunión de trabajo. No obstante, por mi parte, veía en la praxis a José Francisco Trigo, Manuel Hernández, Manuel Falconi, Guadalupe Vadillo, Ana Laura Gallegos, Juana Castillo, Juan Contreras, Eugenio Fautsch y otros tantos académicos, con un verdadero sentido de la educación matemática y con un amor intelectual a lo humano. Notaba que la experiencia docente es más importante que completar un libro con pocas oportunidades de análisis; y que dar un nuevo significado a la enseñanza, implicaba reflexionar que hay cosas que se pueden saber, y que merecían ser aprendidas, lo cual se convertía en un verdadero incentivo para mí, que provocó el deseo de cambiar mi forma usual de impartir clases. […] el principal objetivo de enseñar y aprender, consiste en ser humano y que, como futuros profesionistas, el objetivo de la educación reside en hacerse consciente de la realidad de nuestros semejantes y de sus necesidades. Es así como una etapa del proceso hacia la reconstrucción de mi práctica docente estuvo y está hecha de compartir experiencias con los académicos del SUMEM, lo cual me apremia a profundizar ideas matemáticas y también requiere de un intercambio social que orienta significativamente para esforzarme en el estudio y análisis de metodologías de enseñanza, distintas a la tradicional. Me doy cuenta que el mundo matemático, es más polivalente de lo que creía, donde mi reconocimiento hacia las matemáticas no es una simple constatación de un hecho, sino una confrontación con un ideal. Al cabo de un año, seguía con la intención de fomentar la capacidad de autogestión y la iniciativa para investigar y desarrollar propuestas creativas, además de enseñar a aprender, caray, ¡qué difícil tarea! Fue Roberto Blanco, decano de la FES Aragón, quién me mostró que más allá de las conversaciones y acciones que realizaba con los miembros del SUMEM, podía tener acceso a las matemáticas… a las matemáticas de “entender, discutir, proponer y arrastrar el lápiz”, y como dice Díaz-Barriga (2012), tratando de sujetarme al mismo tiempo a los ritmos, condiciones y procesos de aprendizaje de los alumnos. En mi proceso de cambiar la forma de hacer la clase noté, aunque parezca obvio, que si deseaba hacer algo diferente en el aula, era muy necesario estar en constante preparación técnica de la disciplina, esto es: la ampliación y comprensión de conceptos matemáticos fundamentales; “gánate el derecho a hablar”, así reza una cláusula de Carnegie, y los alumnos de ingeniería de la FES Aragón, aunque no preguntan mucho, cuando lo hacen no esperan una aceptación pasiva de hallazgos decretados; más bien respuestas con una visión crítica, con opciones divergentes y que se les muestre el surgimiento de problemas de mayor alcance: las matemáticas están vivas. Las evaluaciones de los alumnos en verdad me sorprendieron gratamente. No obstante, si la responsabilidad por la formación matemática depende ahora mucho más que en el pasado de instituciones y agentes secundarios, también se abren mayores posibilidades de promover concepciones tolerantes y diversas. Entonces, por necesidades de la carrera, se me propuso preparar otras materias: Estadística Aplicada y, poco tiempo después, Métodos numéricos. Alumnos en un evento SUMEM. Nuevos retos se presentaron: educación, instrucción, numerosos conocimientos matemáticos funcionales, abstractos, cerrados, abiertos o generosamente creativos. Programas de estudio multiplicados y subdivididos hasta lo abrumador. Grupos cada vez más numerosos, además de otras clases, actividades académicas y de investigación, sin olvidar el fomento de valores universitarios para potenciar la educación universitaria, la vida profesional y, más aún, para la incorporación a la vida activa. En el SUMEM hablamos de estos temas. Estamos conscientes que enseñar y aprender matemática no es una tarea sencilla. Hay múltiples variables que intervienen a la vez, haciendo difícil concluir qué es lo que hay que hacer para mejorar el desempeño. Sin embargo, estamos convencidos de que la mejora de la enseñanza y del aprendizaje de las matemáticas depende de académicos, estudiantes, investigadores, funcionarios, alumnos, padres y sociedad. Además, como en el Seminario se suscita a la reflexión de temas de formación de profesores, manejo de tecnologías de información y comunicación (TIC), evaluación, divulgación y difusión de la matemática, esto le imprime cada día su propia identidad. También tenemos presentes los materiales didácticos, metacognición, esquemas de formación de profesores que nos ayudan a asumir conscientemente que el empeño laborioso y disciplinado favorece el aprendizaje a lo largo de la vida. Sin duda, algo determinante fue darme cuenta de la gran expectativa y entusiasmo que despertó en mí la idea de participar, enterarme, convivir y aprender junto a los expertos en el quehacer matemático, y comprobar que se puede trabajar en un grupo de naturaleza heterogénea como éste. En la UNAM, nunca antes se había formado un seminario así, pues parecía algo que muchos acariciaron sólo como un sueño. A guisa de colofón El SUMEM comenzó como un órgano de trabajo dedicado a múltiples actividades, producto de las iniciativas de todos los participantes. En su periodo de formación, se orientó a dar práctica viva de comunidad de trabajo (Gómez-Oyarzún, 1998), mediante la cooperación y ayuda mutua entre los académicos, con gran apoyo de los estudiantes. Asimismo, sus miembros buscaron vincular la enseñanza de manera esencial, con cursos y talleres diversos, bajo ideas innovadoras de educación. Como producto del desarrollo del grupo de trabajo, los miembros del SUMEM estamos conscientes de que el camino continúa, lo cual es posible por la cohesión y solidaridad que existe entre sus integrantes. Las funciones y responsabilidades de cada uno se manifiestan al otorgar continuidad a los proyectos específicos que están planteados de acuerdo a las necesidades de la sociedad; por ejemplo, el desarrollo de un modelo propio de la UNAM para enseñar matemáticas, continuar con coloquios destinados a inducir el pensamiento matemático, hacer festivales de matemáticas para difundirlas a la sociedad y emplear medios masivos de comunicación; por mencionar algunos de ellos. Haciendo propuestas. No obstante, existe flexibilidad en cuanto a opiniones de carácter técnico y criterios que posibilitan lograr resultados conforme al momento y circunstancias. Esto implica que los miembros tenemos una posición relativa de autoridad, la cual tiende a respetar a las entidades universitarias de las cuales provenimos, aunque, nos regimos por la visión de nuestro coordinador, quien nos manifiesta que nuestros esfuerzos se centran en la formación y la actualización permanente de profesores; en el análisis a fondo de los aprendizajes que, al término del ciclo, los estudiantes deben poseer –qué contenidos se deben atender para lograr tales aprendizajes–; y en la divulgación y difusión de una cultura matemática. Como consecuencia de lo anterior, las actividades se dirigen ahora hacia investigar y analizar el impacto de las tareas realizadas. Asimismo, para asegurar la continuidad del SUMEM, se desarrollan actividades de investigación conjunta, con el fin de profundizar la comprensión y conocimiento de la educación matemática. Creo que comencé en el SUMEM con prisa por obtener resultados a corto plazo, y tal vez creía lo mismo en mi práctica docente; si bien es cierto que exalté el conocimiento propio, éste no debe estar por encima de mi necesidad como profesora para comunicarlo, ilustrarlo y construirlo en otros con humildad y paciencia, a veces con tintes de creatividad o anécdotas, regresando a las raíces y, a veces, ligada a otras disciplinas. No cabe duda que nosotros, los profesores, enseñamos y deseamos potenciar ciertas habilidades, pero son nuestros estudiantes quienes, como en la magia, realizan el acto genial de aprender. Parecerá obvio que estoy en deuda intelectual con mis compañeros quienes no sólo me han brindado sus conocimientos y experiencia, sino también su amistad. Muchas personas han influido en el cambio de mi práctica docente sobre la matemática, y difícilmente puedo nombrarlas a todas, pero ellas saben lo mucho que les debo y aprecio. fin Bibliografía Abreu et al. (2014). Consideraciones para la mejora de la educación matemática de la UNAM. UNAM, Secretaría de Desarrollo Universitario. Ciudad de México. Devlin, K. (2012). Introduction to Mathematical Thinking. Estados Unidos de América: Devlin. Díaz-Barriga, F. (2003). “Cognición situada y estrategias para el aprendizaje significativo”. En Revista Electrónica de Investigación Educativa, 5(2). Recuperado de . Consultado 10 de junio de 2017 Gómez-Oyarzún, G. (1998). La universidad a través del tiempo. México, Universidad Iberoamericana, 278 pp. Narro-Robles, J., Martuscelli-Quintana, J. y Barzana-García, E. (coords.) (2012) Plan de diez años para desarrollar el Sistema Educativo Nacional [en línea]. México: Dirección General de Publicaciones y Fomento Editorial, UNAM. Recuperado de . Savater, F. (1997). El valor de educar. Instituto de Estudios Educativos y Sindicales de América, Ciudad de México.
Diana Laura Martínez León, Guillermo Alejandro Alvarado Espinosa, Kristel Alejandra Boyzo Solís y Fernando Casales Salazar Resumen Introducción ¿Y tú como percibes las matemáticas… ¿Razonar o memorizar? ¿Cómo aprender en lugar de memorizar? Agradecimientos Bibliografía Resumen En el artículo se presenta la visión de un grupo de estudiantes universitarios sobre las matemáticas, con la intención de mostrar su riqueza y utilidad; también presentan una propuesta académica, con el fin de sugerir mejoras a la práctica docente. Con base en experiencias propias y la observación, se sugiere que la integración de recursos digitales y tecnológicos en la enseñanza de las matemáticas es útil para simplificar tareas e interpretar resultados. Palabras clave: percepción matemática, experiencias educativas, propuesta académica. Mathematics ¿friends or enemies? The article presents the author’s view about mathematics, as well as showing its richness and usefulness, also presents an academic proposal with the objective of suggesting improvements to the teaching practice. Based on their own experiences and observation, the authors advice that the integration of digital and technological resources into math teaching practices is useful for algorithmic simplification and results interpretation. Keywords: math perception; educative experiences; academic proposal. Introducción Somos un grupo de estudiantes de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM), estudiantes que todos los días, desde hace varios años, tenemos contacto con las matemáticas y aunque somos estudiantes de Ingeniería, esta relación no siempre ha sido tan buena como quisiéramos. Debido a eso, nos dimos a la tarea de reflexionar en lo que esta disciplina representa, cómo ha sido nuestro acercamiento a ella y la forma en que, como alumnos, quisiéramos que nos las enseñaran, con la intención de aprovecharlas de una mejor manera. ¿Y tú como percibes las matemáticas en tu vida? El mundo en el que vivimos está lleno de matemáticas. Desde la naturaleza hasta los sofisticados sistemas computacionales se rigen por las matemáticas; si estas no existieran todo sería un caos. Por ejemplo, sin lenguajes de programación sería imposible crear los relajantes y adictivos juegos de video o aquellas aplicaciones que usamos día a día en nuestro teléfono celular, las cuales nos facilitan nuestras tareas cotidianas, los procesos productivos serian inviables y regresaríamos al medievo artesanal. Las matemáticas existen y han ayudado a la humanidad desde que hubo la necesidad de contar, su uso se ha desarrollado hasta crear algoritmos que simplifican tareas, esto se ve reflejado en las tecnologías: sin las matemáticas no existirían los aparatos que utilizan electricidad –de los que somos tan dependientes–, ni las comodidades básicas. En palabras de José Luis Abreu y Michael Barot, “Las matemáticas constituyen una de las actividades humanas más refinadas. Fueron desarrolladas en muchas culturas diferentes por gente que observaba el mundo en que vivía, tratando de reconocer orden y coherencia, con la esperanza de predecir y tal vez controlar eventos futuros” (2017, p. 8). Foto 1. Lluvia de ideas para la escritura de este artículo. “Por lo regular, las personas piensan que las matemáticas son sólo una herramienta cuadrada y limitada que se aplican en áreas específicas dependiendo de cada profesión; pero eso sería darle una explicación muy simplista y dejar de lado las incontables aplicaciones que éstas tienen”. Las matemáticas están implícitas en nuestras actividades cotidianas, desde el momento en que despertamos, hacemos operaciones para organizar nuestro día; pensamos en cuánto tiempo dedicaremos a cada cosa, en la cantidad de dinero que debemos llevar con nosotros para solventar los gastos del día, en qué distancia hay entre un punto y otro, cuántas estaciones de metro hay entre nuestro origen y nuestro destino, etcétera. Las matemáticas están por todos lados. Por nuestra parte –y nos referimos a quienes suscribimos este artículo–, a lo largo de nuestra vida académica nos hemos dado cuenta de que las matemáticas no son sólo una materia más que tenemos que cursar para obtener una calificación, sino más bien éstas nos han ayudado a ser más disciplinados; además descubrimos que cualquier actividad que debemos realizar es una operación matemática, no es posible saltar ningún paso si queremos llegar al resultado correcto; también nos han hecho más analíticos, ya que, tanto en la vida cotidiana como en la operaciones matemáticas, todas las variables (por más pequeñas que sean) cuentan y, muchas veces, pueden afectar totalmente el resultado. Lo que aprendemos dentro del aula muchas veces son sólo procedimientos, los cuales, nos pueden llevar hojas y aunque llegamos al resultado correcto, no sabemos interpretarlo. Así, todo queda en números, algunos más complejos que otros, pero a fin de cuentas sólo números. Nos olvidamos de lo más importante y del verdadero objetivo de la enseñanza de las matemáticas… que a nuestro punto de vista es desarrollar un pensamiento que te ayude a la resolución de problemas de cualquier tipo, es decir, a poder reaccionar ante situaciones un tanto complejas y por obvias razones en actividades cotidianas. ¿Razonar o memorizar? Cada quien tiene formas distintas de aprender, aunque la manera en que nos enseñaron matemáticas es muy parecida. Nuestro primer contacto con las matemáticas empieza en la familia, desde pequeños, nos hacen familiarizarnos con los números y su pronunciación. Posteriormente, cuando ingresamos a primaria, los maestros nos explican el concepto de las matemáticas para relacionarlo con objetos cotidianos y después introducirnos a las operaciones básicas. Conforme incrementa el grado de dificultad, para muchos empiezan a ser tediosas y frustrantes y no se entiende la razón de ser de las operaciones o de lo que se está calculando; entonces, las matemáticas se convierten en una materia más que es necesario cursar con la finalidad de tener una calificación aprobatoria. Con el paso de los años, hemos notado que la enseñanza de las matemáticas es muy sistemática y que, en realidad, lo que se enseña en las aulas se reduce a memorizar una serie de pasos para dar solución a un determinado ejercicio, pero cuando se presenta algún problema en la cotidianidad resulta complicada su resolución, ya que solamente se nos enseña a memorizar y no a razonar; por lo que el papel que juegan las matemáticas en la vida cotidiana nos puede parecer ajeno, y determinar los conceptos que se requieren para entrar a un proceso de matematización resulta todo un conflicto (ver el diagrama 1). Diagrama 1. En este diagrama se explica la manera en que percibimos el proceso tradicional de enseñanza de las matemáticas. Fuente: elaboración propia. Este proceso es usado por casi todos los profesores desde la secundaria hasta la licenciatura. Salvo algunas felices excepciones, de acuerdo con nuestra experiencia. Hemos podido constatar que cuando realmente aprendes sobre matemáticas, en gran medida, se debe a que el profesor tiene la paciencia y el interés para profundizar en el tema con ejemplos de utilidad, lo cual hace que la atención de los alumnos sea mayor. Pero no todo es así de bueno, ya que, por otro lado, existen profesores que únicamente piden que sus pupilos expongan un libro o lo transcriban, esto puede provocar una enseñanza deficiente, y como consecuencia, un total desinterés por la disciplina en cuestión. Otro problema que detectamos en la enseñanza de las matemáticas es cuando el profesor no tiene dominio de la asignatura, consecuentemente, la transmisión del conocimiento se torna más difícil. Esto hace que el alumno que está rezagado –en temas que pueden ser fundamentales– sienta frustración al no poder continuar con el aprendizaje; la situación se agrava si sumamos un bajo compromiso del estudiante hacia la materia, lo cual da como resultado una percepción de rechazo hacia la disciplina por considerarla “complicada”. ¿Cómo aprender en lugar de memorizar? Consideramos que, para despertar la curiosidad de un tema, no se debe empezar a explicar la ciencia por sus fundamentos teóricos, sino por las inquietudes; es necesario ir más allá de sólo aprender fórmulas e intentar fomentar la pasión en los estudiantes para que ellos, por sí solos, tengan el deseo de aprender (ver el diagrama 2). Las matemáticas y su proceso de enseñanza-aprendizaje son mucho más fáciles y atractivas con pasión; si existe el gusto por ellas, tendremos la capacidad de utilizarlas efectivamente para una mejor toma de decisiones. Diagrama 2. Forma en que consideramos que se aprenderían mejor las matemáticas. Fuente: realización propia. Un cambio de percepción de las matemáticas requiere de un enfoque social y cultural que comience por no predisponer a las nuevas generaciones a pensamientos negativos, miedos, actitudes de desprecio, etcétera. La mayoría de las veces, el alumno llega a clases pensando que la materia será difícil porque es “lo que todo el mundo dice”. Éste es uno de los grandes problemas para la enseñanza de las matemáticas, es más complicado aprender algo sobre lo que ya se tiene un prejuicio negativo. Tomando en cuenta nuestras experiencias y nuestras reflexiones, hicimos un ejercicio en el que planteamos algunos posibles escenarios en los que consideramos que la enseñanza de las matemáticas puede ser más eficiente y útil, tanto para los profesores como para los alumnos, con el objetivo de que tengan un interés verdadero en la materia. Para concluir nos gustaría hacerlo con las palabras del ingeniero Arturo Santana Pineda (director del Colegio Nacional de Matemáticas): “El que domina las matemáticas piensa, razona, analiza y por ende actúa con lógica en la vida cotidiana, por tanto, domina al mundo”. A raíz de nuestras reflexiones, estructuramos una propuesta de lo que, a nuestro parecer, sería idóneo para una mejor enseñanza de las matemáticas, en la cual se consideran aspectos tradicionales de la enseñanza y, además, se toman en cuenta diversos factores importantes que muchas veces pasamos de largo (ver el diagrama 2). En el nivel de licenciatura, se visualiza la necesidad de tener un conocimiento previo; en caso de que éste no exista, el alumno podrá apoyarse en las tecnologías de la información y la comunicación (TIC). Lo anterior implica que el profesor tenga una lista validada de recursos y herramientas digitales –aplicaciones y multimedia– para ayudar a disminuir el rezago del alumno y, al mismo tiempo, despertar su interés. Esta forma de trabajo implica la guía del profesor, el interés y capacidad del alumno para trabajar de manera autodidacta. Como se muestra en el diagrama, nuestra propuesta es que el profesor exponga una introducción a la materia, de tal forma que el estudiante tome conciencia de cuál es el objetivo del curso y cuáles son las metas y proyectos a desarrollar por parte de los alumnos. Los proyectos o casos de estudio estarían enfocados a que los alumnos puedan aplicar lo visto en clase. Este esquema de trabajo conlleva la responsabilidad de estar en constante actualización. La parte final de este planteamiento es lo que denominamos un ciclo de aprendizaje; en el proceso de enseñanza que esbozamos son fundamentales los problemas de aplicación, los cuales dan pauta al trabajo sobre nuevas ideas. Así, las tareas se sustituyen por el trabajo constante sobre proyectos finales. Respecto a lo anterior, reflexionamos seriamente y concluimos que, si bien las tareas sirven de práctica para que el estudiante se prepare para presentar un examen final, esta premisa no se cumple pues muchos alumnos suelen copiar la tarea con tal de cumplir con el requisito de la clase. En cambio, creemos que el trabajo centrado en proyectos ayuda a construir un aprendizaje constante y personalizado, pues el proyecto de cada alumno sería diferente. Foto 2. Proceso de creación de diagramas para la escritura del artículo. Otra conclusión a la que llegamos –a través de nuestra propia experiencia– es que creemos necesario contar con actividades académicas que ayuden al desarrollo de un pensamiento matemático. Los puntos que consideramos fundamentales en nuestra propuesta son los siguientes: trabajar sobre un proyecto hasta concluirlo, realizar actividades en clase, motivar la participación de los alumnos y aplicar exámenes. Todo esto con el seguimiento teórico y práctico por parte del docente y con el apoyo de las herramientas tecnológicas adecuadas. Creemos que esta forma de trabajo representaría un cambio en la enseñanza de las matemáticas, en donde se utilicen más las TIC y se planteé un esquema de colaboración, haciendo que el aprendizaje sea más significativo. El objetivo es que el alumno aprenda y ponga en práctica –en la realización de un proyecto– los conocimientos adquiridos, y así equilibrar el contenido impartido en el aula con la ejecución concreta. A partir de nuestra experiencia, observamos que con ayuda de la tecnología se puede obtener un mejor y significativo aprendizaje, pues estamos muy familiarizados con las TIC y en la actualidad se deberían explotar más. Como estudiantes nos enfrentamos cada día a formas diversas de enseñanza, muchas de ellas nos han motivado a continuar nuestros estudios y otras, por el contrario, nos han hecho dudar; pero gracias a eso hemos obtenido la experiencia y los elementos para reflexionar respecto a qué es lo que nos gustaría ver y poner en práctica dentro de las aulas, en este caso, cuando se habla específicamente de las matemáticas (pero podría ser aplicable a cualquier disciplina). Para concluir nos gustaría hacerlo con las palabras del ingeniero Arturo Santana Pineda (director del Colegio Nacional de Matemáticas): “El que domina las matemáticas piensa, razona, analiza y por ende actúa con lógica en la vida cotidiana, por tanto, domina al mundo”. Agradecimientos Roberto Blanco y Nelly Rigaud por su asesoría. Bibliografía Abreu, J.L. y Barot, M. (2017). Desarrollo del pensamiento matemático. 12 de junio del 2017, Universidad Nacional Autónoma de México. Recuperado de .

Conexiones entre conceptos matemáticos y otras áreas del conocimiento: SUMEM

Resumen

El Seminario Universitario para la Mejora de la Educación Matemática (SUMEM) de la Universidad Nacional Autónoma de México, tiene el reto de mejorar el nivel de los conocimientos matemáticos de sus alumnos y contribuir con el desarrollo de la sociedad. En este artículo hablaremos de tres excelentes eventos que el Seminario realizó este año y que han apoyado a los profesores de bachillerato y de los primeros años de licenciatura a hacer conexiones entre conceptos matemáticos y otras áreas del conocimiento.

Palabras clave: educación matemática, otras áreas del conocimiento, SUMEM,

Connections between math concepts and other areas of knowledge in SUMEM

The University Seminar for the Improvement of Mathematics Education (SUMEM for its acronym in Spanish) of the National Autonomous University of Mexico has the challenge of improving the level of mathematical knowledge of its students and contributing to the development of society. In this article we will talk about three excellent events that the Seminar held this year and that have supported the teachers of high school and the first years of the baccalaureate degree to make connections between mathematical concepts and other areas of knowledge.

Keywords: mathematics education, other areas of knowledge, SUMEM, mathematics.

Introducción

El Seminario Universitario para la Mejora de la Educación Matemática (SUMEM) de la Universidad Nacional Autónoma de México (Gaceta UNAM, 2013), tiene el reto de mejorar el nivel de los conocimientos matemáticos de sus alumnos y contribuir en el desarrollo de la sociedad (SUMEM, 2014; Fatima, 2015). El campo de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas es muy complejo, no sólo por las dificultades propias que plantea el terreno educativo, sino por las que surgen de las amplias interacciones de la matemática con la ciencia y sus aplicaciones (Savard, 2017); por lo tanto, cualquier propuesta metodológica y de contenidos para la enseñanza y el aprendizaje de éstas debe surgir de la reflexión acerca de cómo el conocimiento matemático contribuye a una mejor comprensión del mundo que nos rodea y cuál es el conocimiento adecuado para cada enfoque de estudio de la naturaleza y de la sociedad en general. En este artículo presentaremos tres actividades que el Seminario realizó este año y que han contribuido a apoyar a los profesores de bachillerato y licenciatura para hacer conexiones entre conceptos matemáticos y otras áreas del conocimiento.

IV Encuentro SUMEM: Las Matemáticas en las Ciencias, las Humanidades y las Artes

El Seminario organizó el IV Encuentro SUMEM: Las Matemáticas en las Ciencias, las Humanidades y las Artes. Contamos con cinco excelentes expositores quienes hablaron sobre la importancia del trabajo en equipo; de cómo ayudar a los alumnos a visualizar objetos matemáticos que, además, tienen un valor estético; de la música y de otras aplicaciones. A continuación, describimos más a fondo las pláticas.

IV Encuentro SUMEM.

Aubín Arroyo, del Instituto de Matemáticas (IMATE), unidad Cuernavaca, tituló su plática: “La computadora es más que una máquina de hacer cuentas”, la conferencia resultó mucho más bella que el título. Comentó que uno de los retos más difíciles a los que un matemático se enfrenta es el de mostrar los objetos con los que trabaja a personas con otros intereses, ya sean estudiantes o no. Muchas veces, la abstracción necesaria o el lenguaje adecuado para comprenderlos son el impedimento; otras veces, los prejuicios o la falta de interés del espectador son el obstáculo. Las computadoras no son la solución para todos los problemas, sin embargo, con su capacidad de cálculo y las posibilidades que tienen para visualizar los resultados de múltiples y tediosas operaciones pueden auxiliarnos en esta tarea. En las figuras 1 y 2 se pueden apreciar dos ejemplos en los que la computadora permitió obtener visualizaciones de hermosos objetos matemáticos que, a mano, sería bastante complicado obtener.

Figura 1. Icosaedro fractal. Figura 2. Nudo trébol con 30 esferas.

La fusión del arte y la ciencia, de la estética y la precisión es provocadoramente afín al ser humano, comentó Manuel Fernández Guasti, de la Universidad Autónoma Metropolitana (UAM) unidad Iztapalapa durante la plática titulada: “La Cusfera: superficie isométrica de los escatores hipercomplejos… y su relación con la escala humana”. Presentó la métrica del álgebra de escatores, este término proviene de la contracción de escalares y directores (similares a los vectores) pues sus elementos contienen una parte escalar que no posee la cualidad de dirección y otras componentes tienen dirección bien definida. La superficie que se genera al tomar la métrica constante es la cusfera (ver figuras 3 y 4).

Figura 3. Cuesfera. Figura 4. Proyecciones de la cuesfera.

Se llama así porque dos de sus proyecciones son un círculo, mientras que en la tercera dirección la proyección es un cuadrado. La construcción de la cusfera fue muy emocionante, primero la hicieron en barro, después la fundieron en bronce. Cuando aparecieron las impresoras 3D alimentaron la impresora con la ecuación de la cusfera y la impresora la imprimió como se puede observar en la figura 3. Manuel mostró cómo se obtiene un límite euclideano (el límite que conocemos) tomando rebanadas de la cusfera, proporcionando una hermosa visualización del infinito.

“Construyendo cómputo distribuido voluntario en la Facultad de Ingeniería, UNAM” fue el título de la plática de Alejandro Velázquez Mena de la Facultad de Ingeniería de la UNAM, quien comentó que el 15 de octubre del año pasado, y en apenas 18 minutos, una computadora del edificio Luis G. Valdés de la Facultad de Ingeniería (FI), encontró un número primo de un millón mil 953 dígitos –cifra equivalente a casi la mitad de los caracteres empleados por Cervantes al escribir El Quijote (dos millones 59 mil cinco) y poco más que los usados por Víctor Hugo en su novela Los miserables. Este hallazgo se logró usando cómputo distribuido voluntario, es decir, procesamiento obtenido cuando muchas computadoras repartidas se coordinan para echar a andar un proyecto. Actualmente los sistemas distribuidos son parte de nuestra vida cotidiana.

Eventos como el IV Encuentro del SUMEM, el Día de π o el concurso de alfabetización estadística ISLP, ayudan a hacer conexiones entre conceptos matemáticos y otras áreas del conocimiento que incluso pueden llegar a tener valor estético.

En el plan de estudios 2016 de la carrera de Ingeniería en Computación se han agregado conceptos de paralelo en las asignaturas: Programación orientada a objetos, Estructura de datos y algoritmos II, Sistemas distribuidos y Programación masiva en arquitectura unificada. La Infraestructura Abierta de Berkeley para la Computación en Red (en inglés Berkeley Open Infrastructure for Network Computing, BOINC), permitirá que los alumnos cuenten con las herramientas necesarias para el desarrollo de aplicaciones en sistemas distribuidos y les permitirá desarrollar habilidades para la programación en paralelo, la cual es un área del desarrollo de software poco extendida en la industria y con un amplio campo de trabajo y de aplicación. Alejandro Velázquez enfatizó la importancia del trabajo en equipo.

Por su parte Alejandro Toriello del Stewart School of Industrial & Systems Engineering at Georgia Tech habló sobre “Aplicaciones de matemáticas en la investigación de operaciones”. La investigación de operaciones (OR por sus siglas en inglés), es el área de las matemáticas aplicadas e ingeniería que estudia problemas operacionales y de planificación enfrentados por negocios, industrias, gobiernos y otros sistemas complejos. Es decir, OR estudia y ayuda en la toma de decisiones óptimas a lo largo de un proceso. Surge en la década de 1940 en la coyuntura de la Segunda Guerra Mundial y el plan Marshall, cuando Estados Unidos de América y Los Aliados enfrentan problemas militares de logística y planificación a una escala nunca antes vista. Así, las áreas de las matemáticas aplicadas que más se usan y estudian en OR incluyen: algoritmos, combinatoria, estadística, optimización continua y discreta, probabilidad y teoría de colas, teoría de juegos. Los problemas que se estudian tienen motivación y bases muy prácticas, se aplican técnicas de todas las áreas de las matemáticas y se prestan a ejemplos y problemas de todo tipo. En muchos casos, son muy fáciles de explicar y motivar, y pueden relacionarse a la vida cotidiana de los estudiantes.

Toriello presentó el Problema de la Orden más Económica (EOQ por sus siglas en inglés), que se podría decir es el problema más básico en el manejo de inventario que tiene un negocio, con el objetivo de minimizar los costos. Éste es de los pocos problemas en el campo que ya cumplió 100 años, pues el artículo original: “¿Cuántas unidades produzco a la vez?” apareció en 1913 (Harris, 1913) el autor no era un profesor, era una persona que trabajaba en una fábrica. El problema es el siguiente:

Para entender este problema bastan conocimientos básicos de matemáticas como el área de un triángulo, por lo que puede ser de mucha utilidad a los profesores para motivar a sus alumnos.

Se concluyóel IV Encuentro SUMEM con la plática “Las matemáticas y la música, una resolución indisoluble” que dio Érik Castañeda De Isla Puga de la Facultad de Ingeniería de la UNAM, acompañado por un cuarteto de la Orquesta Sinfónica de Minería (ver figura 5).

Figura 5. Conferencia magistral “Las matemáticas y la música, una resolución indisoluble”.

Érik Castañeda se refirió a la relación entre las matemáticas con las tres componentes de la música, a saber: la melodía, la armonía y el ritmo. Entre otras cosas, mencionó a Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), por la base matemática de la superposición de ondas ya que el sonido de cada instrumento se caracteriza por el timbre y eso está íntimamente relacionado con el concepto. Un sintetizador “imitará” con más calidad el sonido de algún instrumento si utiliza más armónicos de la serie de Fourier. Este es un buen ejemplo para compartir con los estudiantes cundo se aborda el tema de las series de Fourier.

A todos los interesados los invitamos a sumarse al SUMEM y participar en el V Encuentro SUMEM que ya estamos organizando.

¿Sabes interpretar las gráficas estadísticas que aparecen en los periódicos, las revistas y los artículos?

Ada Mercy Arellano Durán, Emilio Pinales Retana y Pieter Alexander Van der Werff. Cada vez es más importante que todos sepamos leer e interpretar gráficas estadísticas para tomar buenas decisiones. Con el fin de que tanto profesores como alumnos del bachillerato se alfabeticen estadísticamente, el SUMEM participó por segunda vez en el Concurso Internacional de Carteles de Alfabetización Estadística (ISLP por sus siglas en inglés). En esta ocasión el tema fue La historia de tu país. Los carteles debían reflejar o ilustrar el análisis del uso, la interpretación y la comunicación de estadísticas o información estadística. El SUMEM impartió un curso para profesores de bachillerato sobre diseño de carteles y estadística, esto impactó en los alumnos. Los resultados: obtuvieron el tercer lugar con el cartel Un paseo por México a través de un siglo de los alumnos Ada Mercy Arellano Durán, Emilio Pinales Retana y Pieter Alexander Van der Werff Vargas de la Escuela Nacional Preparatoria.

¿Cómo celebras el día de π?

Este año celebramos el Día ? en los 14 planteles del Bachillerato de la UNAM, en el Bachillerato a distancia de la UNAM (B@UNAM), en las Facultades de Ciencias, Economía y Química. Hubo conferencias, cine-debates y actividades lúdicas. En una de las sesiones de cine debate se proyectó la película El hombre que conocía el infinito de Matt Brown en la que se relata la vida del matemático Srinivasa Ramanujan (1887-1920). César Guevara, de la Facultad de Ciencias, comentó la importancia de este extraordinario matemático indio: su legado ha ayudado a explicar fenómenos como el de los agujeros negros, ¡asombroso!

Día de π en el Colegio de Ciencias y Humanidades, plantel Azcapotzalco.

Conclusiones

El Seminario Universitario para la Mejora de la Educación Matemática ha estado trabajando de forma continua y permanente para contribuir a la mejora de la enseñanza de las matemáticas en la UNAM. Eventos como el IV Encuentro del SUMEM, el Día de π o el concurso de alfabetización estadística ISLP, ayudan a hacer conexiones entre conceptos matemáticos y otras áreas del conocimiento que incluso pueden llegar a tener valor estético. Consideramos que este tipo de eventos pueden mejorar la educación matemática y hacerla emocionante. Además estas actividades fortalecen el espíritu universitario y ayudan a que se tenga una mejor percepción de las matemáticas.

Bibliografía

Ana María del Pilar Martínez Hernández y Tania Itzel Nieto Juárez Aportes de Vasconcelos a la educación mexicana Aportes de Vasconcelos a la educación mexicana José Vasconcelos fue un hombre multifacético, como rector de la Universidad Nacional realizó acciones que rebasaron ampliamente el ámbito universitario. Trabajó por la restitución y organización de una Secretaría de Educación que tuviera alcance y atribuciones en todo el país. Desde la Universidad impulsó una ambiciosa campaña de alfabetización, la cual complementó con la edición masiva de publicaciones clásicas, logrando que el gobierno pusiera al servicio del Departamento Universitario las prensas de la Nación, de las que salieron miles de ejemplares de libros de autores clásicos y mexicanos. Así mismo, creó el Departamento de Desayunos Escolares que inició su servicio el 9 de mayo de 1921. Como secretario de educación llevó las ideas de la Revolución a la educación del pueblo mexicano: Duplicó el número de escuelas, de maestros e impulsó la educación indígena. Estableció y promovió la escuela rural y las misiones rurales para mejorar el nivel de vida del campesinado mexicano. Impulsó la educación técnica e industrial para los habitantes de las ciudades. Aumentó el número de bibliotecas de diverso tipo: fijas y ambulantes, rurales y urbanas, las cuales dotó de libros que permitieran popularizar la alta cultura y fortalecer la instrucción escolar. Abrió la enseñanza secundaria y superior a un mayor número de estudiantes. La formación integral que concebía, incorporó la práctica de la gimnasia y el arte dentro y fuera de las escuelas; transformó las prácticas educativas, sacándolas de las aulas. Rescató edificios de valor histórico, que se destinaron a tareas de gestión –como el que alberga la SEP–, educación y difusión de la cultura, y llevó el arte a sus muros. Generó una nueva estética nacional, fomentando el desarrollo y la renovación de la pintura, la escultura, el teatro, la danza y la música –la que apoyó con la creación de orfeones y orquestas–; logró que se revaloraran las artes populares mexicanas. Rescató y reorganizó los institutos de cultura artística superior como la Antigua Academia de Bellas Artes, el Museo Nacional y el Conservatorio de Música. Fundó y editó la revista El Maestro. Editó las antologías Lecturas Clásicas para Niños y Lecturas Clásicas para Mujeres, ésta última preparada por la educadora chilena Gabriela Mistral.
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Revista Digital Universitaria Publicación bimestral Vol. 18, Núm. 6julio-agosto 2017 ISSN: 1607 - 6079